Номер 877 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 877.
Докажите неравенство:
1) 28a – 32 ≤ 7a2 – 4;
2) 9x2 – 6xy + 4y2 ≥ 0;
3) 3(b – 1) < b(b + 1);
4) (4p – 1)(p + 1) – (p – 3)(p + 3) > 3(p2 + p).
💡 Подсказка (без ответа)
Перенеси все члены неравенства в одну часть и попробуй выделить полные квадраты или представить выражение в виде суммы неотрицательных членов. Помни, что квадрат любого числа — это неотрицательное число.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Докажем каждое неравенство, перенеся все части в одну сторону и показав, что выражение имеет нужный знак.
1) 28a – 32 ≤ 7a² – 4
Перенесем все в правую часть: 28a – 32 ≤ 7a² – 4 0 ≤ 7a² – 4 – 28a + 32 0 ≤ 7a² – 28a + 28
Разделим на 7: 0 ≤ a² – 4a + 4 0 ≤ (a – 2)²
Квадрат любого числа всегда больше или равен нулю, поэтому неравенство верно для всех a.
2) 9x² – 6xy + 4y² ≥ 0
Попробуем выделить полный квадрат. Заметим, что: 9x² – 6xy + 4y² = (3x)² – 2·3x·y + y² + 3y² = (3x – y)² + 3y²
Сумма двух неотрицательных выражений (квадратов) всегда ≥ 0, поэтому неравенство верно для всех x и y.
3) 3(b – 1) < b(b + 1)
Раскроем скобки: 3b – 3 < b² + b 0 < b² + b – 3b + 3 0 < b² – 2b + 3
Выделим полный квадрат: 0 < (b – 1)² + 2
Это верно для всех b, так как (b – 1)² ≥ 0, поэтому (b – 1)² + 2 ≥ 2 > 0.
4) (4p – 1)(p + 1) – (p – 3)(p + 3) > 3(p² + p)
Раскроем скобки в левой части: (4p – 1)(p + 1) = 4p² + 4p – p – 1 = 4p² + 3p – 1 (p – 3)(p + 3) = p² – 9
Левая часть: 4p² + 3p – 1 – (p² – 9) = 4p² + 3p – 1 – p² + 9 = 3p² + 3p + 8
Правая часть: 3(p² + p) = 3p² + 3p
Проверим неравенство: 3p² + 3p + 8 > 3p² + 3p 8 > 0
Это верно, поэтому исходное неравенство верно для всех p.