Номер 87 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 87.
Найдите все натуральные значения n, при которых значение выражения является целым числом:
1) n + 6/n;
2) 3n² – 4n - 14/n;
3) 4n + 7/2n – 3.
💡 Подсказка (без ответа)
Для каждого выражения нужно, чтобы дробная часть была целым числом. Значит, знаменатель должен быть делителем числителя (или числителя без целой части). Найди все делители и проверь, какие дают натуральные значения n.
Решение по шагам
Нам нужно найти натуральные значения n, при которых каждое выражение даёт целое число.
1) n + 6/n
Чтобы это выражение было целым, нужно чтобы дробь 6/n была целым числом.
Это возможно только если n — делитель числа 6.
Делители 6: 1, 2, 3, 6
Проверим:
- n = 1: 1 + 6/1 = 1 + 6 = 7 ✓
- n = 2: 2 + 6/2 = 2 + 3 = 5 ✓
- n = 3: 3 + 6/3 = 3 + 2 = 5 ✓
- n = 6: 6 + 6/6 = 6 + 1 = 7 ✓
Ответ: n = 1, 2, 3, 6
2) 3n² – 4n - 14/n
Переведём в одну дробь:
(3n³ – 4n² – 14)/n
Чтобы это было целым числом, нужно чтобы 14/n было целым (так как 3n² и 4n уже целые при натуральном n).
Делители 14: 1, 2, 7, 14
Проверим:
- n = 1: 3·1 – 4·1 – 14/1 = 3 – 4 – 14 = –15 ✓
- n = 2: 3·4 – 4·2 – 14/2 = 12 – 8 – 7 = –3 ✓
- n = 7: 3·49 – 4·7 – 14/7 = 147 – 28 – 2 = 117 ✓
- n = 14: 3·196 – 4·14 – 14/14 = 588 – 56 – 1 = 531 ✓
Ответ: n = 1, 2, 7, 14
3) 4n + 7/(2n – 3)
Чтобы это выражение было целым, дробь 7/(2n – 3) должна быть целым числом.
Это значит (2n – 3) должен быть делителем 7.
Делители 7: ±1, ±7
Решаем для каждого случая:
- 2n – 3 = 1 → 2n = 4 → n = 2 ✓
- 2n – 3 = 7 → 2n = 10 → n = 5 ✓
- 2n – 3 = –1 → 2n = 2 → n = 1 ✓
- 2n – 3 = –7 → 2n = –4 → n = –2 (не натуральное)
Проверим найденные:
- n = 1: 4·1 + 7/(2·1 – 3) = 4 + 7/(–1) = 4 – 7 = –3 ✓
- n = 2: 4·2 + 7/(2·2 – 3) = 8 + 7/1 = 8 + 7 = 15 ✓
- n = 5: 4·5 + 7/(2·5 – 3) = 20 + 7/7 = 20 + 1 = 21 ✓
Ответ: n = 1, 2, 5