Номер 831 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 831.
На экране монитора компьютера записано число 1. Ежесекундо компьютер прибавляет к числу, находящемуся на экране, сумму его цифр. Может ли через некоторое время на экране появиться число 123 456 789?
💡 Подсказка (без ответа)
Подумай о том, как меняется остаток числа при делении на 9 после каждой операции. Проверь остаток при делении на 9 для числа 123 456 789 (найди сумму его цифр).
Решение по шагам
Разберём эту задачу пошагово.
Шаг 1. Понимаем правило На экране число. Каждую секунду компьютер прибавляет сумму цифр этого числа к самому числу. Пример: если на экране 5, то сумма цифр = 5, новое число = 5 + 5 = 10. Следующий шаг: число 10, сумма цифр = 1 + 0 = 1, новое число = 10 + 1 = 11.
Шаг 2. Найдём закономерность Чтобы понять, может ли получиться число 123 456 789, проверим остатки при делении на 9.
Вспомни: число и сумма его цифр дают одинаковый остаток при делении на 9.
Если число имеет остаток r при делении на 9, и сумма его цифр имеет остаток r, то: новое число = (число) + (сумма цифр) Остаток нового числа при делении на 9 = r + r = 2r (по модулю 9)
Шаг 3. Проследим остатки Начальное число: 1 Остаток при делении на 9: 1
После 1-й секунды: 1 + 1 = 2 Остаток: 2
После 2-й секунды: 2 + 2 = 4 Остаток: 4
После 3-й секунды: 4 + 4 = 8 Остаток: 8
После 4-й секунды: 8 + 8 = 16 Остаток: 16 ≡ 7 (по модулю 9)
Смотрим последовательность остатков: 1, 2, 4, 8, 7, 5, 1, 2, 4, 8, 7, 5...
Шаг 4. Проверим число 123 456 789 Сумма цифр: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 45 ≡ 0 (по модулю 9)
Значит, число 123 456 789 имеет остаток 0 при делении на 9.
Вывод: В последовательности остатков (1, 2, 4, 8, 7, 5, 1, 2, 4, 8, 7, 5...) остаток 0 никогда не появляется!
Поэтому число 123 456 789 на экране не может появиться.