Номер 81 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 81.
Докажите, что при всех допустимых значениях переменной выражение а² – 6/(а – 2)⁴ – 7а – 4/(а – 2)⁴ + 3а + 6/(а – 2)⁴ принимает положительные значения.
💡 Подсказка (без ответа)
Приведи все три дроби к общему знаменателю (a – 2)⁴. Упрости числитель, объединив подобные слагаемые. Выдели полный квадрат в числителе вида (a – 2)² + число, чтобы показать его положительность.
Решение по шагам
Сначала запишем выражение и найдём общий знаменатель:
a²/(a – 2)⁴ – (7a – 4)/(a – 2)⁴ + (3a + 6)/(a – 2)⁴
Поскольку у всех дробей одинаковый знаменатель (a – 2)⁴, объединим их в одну дробь:
(a² – (7a – 4) + (3a + 6))/(a – 2)⁴
Упростим числитель:
a² – 7a + 4 + 3a + 6 = a² – 4a + 10
Получаем:
(a² – 4a + 10)/(a – 2)⁴
Теперь проанализируем знаки числителя и знаменателя.
Знаменатель: (a – 2)⁴ — это четвёртая степень. При всех допустимых значениях a ≠ 2 имеем (a – 2)⁴ > 0 (чётная степень всегда положительна при a ≠ 2).
Числитель: a² – 4a + 10
Выделим полный квадрат:
a² – 4a + 10 = a² – 4a + 4 + 6 = (a – 2)² + 6
Поскольку (a – 2)² ≥ 0 при всех значениях a, то:
(a – 2)² + 6 ≥ 6 > 0
Числитель всегда положителен.
Вывод: дробь имеет вид (положительное число)/(положительное число) = положительное число.
Следовательно, при всех допустимых значениях переменной a ≠ 2 выражение принимает положительные значения. Что и требовалось доказать.