Номер 78 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 78.
Докажите тождество:
1) (a + b)²/4ab – (a – b)²/4ab; 2) (a + b)²/a² + b² + (a – b)²/a² + b².
💡 Подсказка (без ответа)
В обеих задачах дроби имеют одинаковые знаменатели — объедини их под один знаменатель. Потом раскрой скобки в числителе, используя формулы (a ± b)² = a² ± 2ab + b². Приведи подобные слагаемые и упрости.
Решение по шагам
Доказываем тождества пошагово.
1) (a + b)²/4ab – (a – b)²/4ab
Что нужно доказать: это выражение равно какому-то простому результату (скорее всего, 1).
Шаг 1. У обеих дробей одинаковый знаменатель 4ab, поэтому вычитаем числители: (a + b)²/4ab – (a – b)²/4ab = [(a + b)² – (a – b)²]/4ab
Шаг 2. В числителе используем формулу разности квадратов: X² – Y² = (X + Y)(X – Y) Тут X = (a + b), Y = (a – b)
Шаг 3. Применяем формулу: [(a + b) + (a – b)][(a + b) – (a – b)]/4ab
Шаг 4. Упрощаем в скобках: (a + b + a – b)(a + b – a + b)/4ab = (2a)(2b)/4ab = 4ab/4ab = 1
Тождество доказано: выражение равно 1.
2) (a + b)²/(a² + b²) + (a – b)²/(a² + b²)
Что нужно доказать: это выражение равно 2 (или другому результату).
Шаг 1. У обеих дробей одинаковый знаменатель (a² + b²), поэтому складываем числители: [(a + b)² + (a – b)²]/(a² + b²)
Шаг 2. Раскрываем квадраты суммы и разности в числителе: (a + b)² = a² + 2ab + b² (a – b)² = a² – 2ab + b²
Шаг 3. Складываем: a² + 2ab + b² + a² – 2ab + b² = 2a² + 2b² = 2(a² + b²)
Шаг 4. Подставляем в дробь: 2(a² + b²)/(a² + b²) = 2
Тождество доказано: выражение равно 2.