Номер 65 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 65.
На сторонах квадрата записаны четыре натуральных числа. В каждой вершине квадрата записано число, равное произведению чисел, записанных на сторонах, для которых эта вершина является общей. Сумма чисел, записанных в вершинах, равна 55. Найдите сумму чисел, записанных на сторонах квадрата.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь стороны квадрата как a, b, c, d. Запиши произведения в каждой вершине (каждая вершина — произведение двух соседних сторон). Найди их сумму и разложи на множители, вынеся общие части.
Решение по шагам
Обозначим четыре числа на сторонах квадрата как a, b, c, d (идём по часовой стрелке).
Вершины квадрата и произведения: — Вершина 1 (между сторонами a и b): число a·b — Вершина 2 (между сторонами b и c): число b·c — Вершина 3 (между сторонами c и d): число c·d — Вершина 4 (между сторонами d и a): число d·a
По условию сумма чисел в вершинах равна 55: ab + bc + cd + da = 55
Вынесем общие множители: ab + bc + cd + da = b(a + c) + d(a + c) = (a + c)(b + d)
Таким образом: (a + c)(b + d) = 55
Теперь найдём делители числа 55: 55 = 1 × 55 = 5 × 11
Возможные варианты:
- a + c = 1, b + d = 55 — невозможно (натуральные числа, минимум 1 + 1 = 2)
- a + c = 5, b + d = 11
- a + c = 11, b + d = 5
- a + c = 55, b + d = 1 — невозможно
Для всех возможных вариантов сумма чисел на сторонах: a + b + c + d = (a + c) + (b + d)
Вариант 2: a + c = 5, b + d = 11 a + b + c + d = 5 + 11 = 16
Вариант 3: a + c = 11, b + d = 5 a + b + c + d = 11 + 5 = 16
Ответ: 16