Номер 643 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 643.
Упростите выражение $$\sqrt{(\sqrt{a}+ 1)² – 4\sqrt{a}}$$ + $$\sqrt{(\sqrt{a} – 2)² + 8\sqrt{a}}$$
💡 Подсказка (без ответа)
Раскройте квадраты в каждом подкоренном выражении, затем приведите подобные члены. Заметьте, что под каждым корнем получается полный квадрат двучлена вида (x ± y)². Извлекайте корень из квадрата по формуле √(x²) = |x|.
Решение по шагам
Упростим выражение шаг за шагом.
Шаг 1. Работаем с первым корнем: √((√a + 1)² – 4√a)
Раскроем скобку (√a + 1)²: (√a + 1)² = a + 2√a + 1
Подставим в выражение под корнем: (√a + 1)² – 4√a = a + 2√a + 1 – 4√a = a – 2√a + 1
Заметим, что a – 2√a + 1 = (√a – 1)²
Поэтому: √((√a + 1)² – 4√a) = √((√a – 1)²) = |√a – 1|
Поскольку √a ≥ 0 и обычно a ≥ 1 в таких задачах (или просто √a ≥ 0), то при √a ≥ 1 получаем: |√a – 1| = √a – 1
Шаг 2. Работаем со вторым корнем: √((√a – 2)² + 8√a)
Раскроем скобку (√a – 2)²: (√a – 2)² = a – 4√a + 4
Подставим в выражение под корнем: (√a – 2)² + 8√a = a – 4√a + 4 + 8√a = a + 4√a + 4
Заметим, что a + 4√a + 4 = (√a + 2)²
Поэтому: √((√a – 2)² + 8√a) = √((√a + 2)²) = |√a + 2| = √a + 2
(так как √a + 2 > 0 всегда)
Шаг 3. Складываем результаты:
(√a – 1) + (√a + 2) = √a – 1 + √a + 2 = 2√a + 1