Номер 642 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 642.
Упростите выражение $$\sqrt{(\sqrt{a}+ 1)² – 4\sqrt{a}}$$ + $$\sqrt{(\sqrt{a} – 2)² + 8\sqrt{a}}$$
💡 Подсказка (без ответа)
Попробуй раскрыть квадраты в скобках, а затем заметить, что подкоренные выражения — это полные квадраты. Например, a + 2√a + 1 = (√a + 1)². После этого извлеки корни и сложи результаты.
Решение по шагам
Упростим каждое слагаемое отдельно.
Первое выражение: √((√a + 1)² – 4√a)
Раскроем скобку (√a + 1)²: (√a + 1)² = a + 2√a + 1
Подставим в подкоренное выражение: a + 2√a + 1 – 4√a = a – 2√a + 1
Заметим, что a – 2√a + 1 = (√a)² – 2·√a·1 + 1² = (√a – 1)²
Тогда: √((√a – 1)²) = |√a – 1|
Поскольку √a ≥ 0, нужно определить знак (√a – 1). При a ≥ 1 имеем √a – 1 ≥ 0, поэтому |√a – 1| = √a – 1
Второе выражение: √((√a – 2)² + 8√a)
Раскроем скобку (√a – 2)²: (√a – 2)² = a – 4√a + 4
Подставим в подкоренное выражение: a – 4√a + 4 + 8√a = a + 4√a + 4
Заметим, что a + 4√a + 4 = (√a)² + 2·√a·2 + 2² = (√a + 2)²
Тогда: √((√a + 2)²) = |√a + 2| = √a + 2 (всегда положительно, так как √a ≥ 0)
Сумма: (√a – 1) + (√a + 2) = √a – 1 + √a + 2 = 2√a + 1