Номер 597 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 597.
Упростите выражение:
1) $$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$$; 2) $$\sqrt{7+4\sqrt{3}}$$; 3) $$\sqrt{11+2\sqrt{30}}$$.
💡 Подсказка (без ответа)
Попробуй представить выражение под корнем в виде полного квадрата (a + b)². Для этого раскрой (a + b)² = a² + 2ab + b² и сравни с тем, что у тебя есть. Подбери a и b так, чтобы сумма их квадратов и удвоенное произведение совпадали с числами в исходном выражении.
Решение по шагам
Нужно найти, под каким корнем скрывается полный квадрат. Попробуем представить выражение в виде (a + b)².
1) √(3 + 2√2)
Предположим, что 3 + 2√2 = (a + b)², где a и b — какие-то числа. Раскроем скобки: (a + b)² = a² + 2ab + b²
Сравним:
- a² + b² = 3
- 2ab = 2√2, значит ab = √2
Нужно найти два числа, у которых сумма квадратов равна 3, а произведение равно √2. Попробуем a = √2 и b = 1:
- a² + b² = 2 + 1 = 3 ✓
- ab = √2 · 1 = √2 ✓
Значит, 3 + 2√2 = (√2 + 1)²
Поэтому √(3 + 2√2) = √((√2 + 1)²) = |√2 + 1| = √2 + 1
2) √(7 + 4√3)
Предположим, 7 + 4√3 = (a + b)²
- a² + b² = 7
- 2ab = 4√3, значит ab = 2√3
Попробуем a = 2 и b = √3:
- a² + b² = 4 + 3 = 7 ✓
- ab = 2 · √3 = 2√3 ✓
Значит, 7 + 4√3 = (2 + √3)²
Поэтому √(7 + 4√3) = √((2 + √3)²) = |2 + √3| = 2 + √3
3) √(11 + 2√30)
Предположим, 11 + 2√30 = (a + b)²
- a² + b² = 11
- 2ab = 2√30, значит ab = √30
Попробуем a = √6 и b = √5:
- a² + b² = 6 + 5 = 11 ✓
- ab = √6 · √5 = √30 ✓
Значит, 11 + 2√30 = (√6 + √5)²
Поэтому √(11 + 2√30) = √((√6 + √5)²) = |√6 + √5| = √6 + √5