Номер 596 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 596.
Упростите выражение:
1) ($$\frac{\sqrt{a} – \sqrt{b}}{a + \sqrt{ab}}$$ – 1/a – b · $$\frac{(\sqrt{b} – \sqrt{a})²}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$$) : $$\frac{\sqrt{a} – \sqrt{b}}{a + \sqrt{ab}}$$;
2) ( $$\sqrt{a}$$ + $$\sqrt{b}$$ – $$\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$$) : ($$\frac{\sqrt{a} – \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$$ + $$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$$).
💡 Подсказка (без ответа)
В первой задаче нужно привести к общему знаменателю выражение в скобках, заметив, что (√b – √a)² = (√a – √b)² и a – b = (√a – √b)(√a + √b). Во второй задаче сначала упростите числитель делимого, приведя к общему знаменателю, а затем упростите делитель.
Решение по шагам
- Упростим выражение (√a – √b)/(a + √ab) – 1/(a – b) · (√b – √a)²/(√a + √b) : (√a – √b)/(a + √ab)
Шаг 1. Преобразуем первую дробь: (√a – √b)/(a + √ab) = (√a – √b)/(√a(√a + √b))
Шаг 2. Преобразуем произведение дробей: 1/(a – b) · (√b – √a)²/(√a + √b) = 1/((√a – √b)(√a + √b)) · (√a – √b)²/(√a + √b) = (√a – √b)²/((√a – √b)(√a + √b)²) = (√a – √b)/(√a + √b)²
Шаг 3. Вычитаем: (√a – √b)/(√a(√a + √b)) – (√a – √b)/(√a + √b)² = (√a – √b) · ((√a + √b) – √a)/((√a + √b)²√a) = (√a – √b) · √b/((√a + √b)²√a)
Шаг 4. Делим на (√a – √b)/(a + √ab) = (√a – √b)/(√a(√a + √b)): [(√a – √b) · √b]/[(√a + √b)²√a] · [√a(√a + √b)]/(√a – √b) = √b(√a + √b)/(√a + √b)² = √b/(√a + √b)
Ответ: √b/(√a + √b)
- Упростим выражение (√a + √b – 2√ab/(√a + √b)) : (√a – √b)/(√a + √b) + √b/√a
Шаг 1. Упростим числитель делимого: √a + √b – 2√ab/(√a + √b) = ((√a + √b)² – 2√ab)/(√a + √b) = (a + 2√ab + b – 2√ab)/(√a + √b) = (a + b)/(√a + √b)
Шаг 2. Упростим делитель: (√a – √b)/(√a + √b) + √b/√a = (√a(√a – √b) + √b(√a + √b))/(√a(√a + √b)) = (a – √ab + √ab + b)/(√a(√a + √b)) = (a + b)/(√a(√a + √b))
Шаг 3. Выполняем деление: (a + b)/(√a + √b) : (a + b)/(√a(√a + √b)) = (a + b)/(√a + √b) · (√a(√a + √b))/(a + b) = √a
Ответ: √a