Номер 584 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 584.
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
1) $$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} – 2}$$; 2) $$\frac{8}{\sqrt{10} – \sqrt{2}}$$; 3) $$\frac{9}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$$; 4) $$\frac{2 – \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$$.
💡 Подсказка (без ответа)
Используй формулу разности квадратов (a – b)(a + b) = a² – b². Умножь числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое знаменателю: если в знаменателе (√a – √b), умножь на (√a + √b).
Решение по шагам
Освобождение от иррациональности в знаменателе — это умножение дроби на специальное выражение, чтобы в знаменателе не осталось корней.
1) √5/(√5 – 2)
Умножим числитель и знаменатель на (√5 + 2) — это сопряжённое выражение:
√5/(√5 – 2) · (√5 + 2)/(√5 + 2)
Числитель: √5 · (√5 + 2) = √5 · √5 + √5 · 2 = 5 + 2√5
Знаменатель: (√5 – 2)(√5 + 2) = (√5)² – 2² = 5 – 4 = 1
Ответ: 5 + 2√5
2) 8/(√10 – √2)
Умножим на (√10 + √2):
8/(√10 – √2) · (√10 + √2)/(√10 + √2)
Числитель: 8 · (√10 + √2) = 8√10 + 8√2
Знаменатель: (√10 – √2)(√10 + √2) = (√10)² – (√2)² = 10 – 2 = 8
Результат: (8√10 + 8√2)/8 = √10 + √2
Ответ: √10 + √2
3) 9/(√x + √y)
Умножим на (√x – √y):
9/(√x + √y) · (√x – √y)/(√x – √y)
Числитель: 9 · (√x – √y) = 9√x – 9√y
Знаменатель: (√x + √y)(√x – √y) = (√x)² – (√y)² = x – y
Ответ: (9√x – 9√y)/(x – y) или 9(√x – √y)/(x – y)
4) (2 – √2)/(2 + √2)
Умножим на (2 – √2):
(2 – √2)/(2 + √2) · (2 – √2)/(2 – √2)
Числитель: (2 – √2)² = 4 – 4√2 + 2 = 6 – 4√2
Знаменатель: (2 + √2)(2 – √2) = 4 – 2 = 2
Результат: (6 – 4√2)/2 = 3 – 2√2
Ответ: 3 – 2√2