Номер 583 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 583.
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
1) $$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1}$$; 3) $$\frac{15}{\sqrt{15} – \sqrt{12}}$$; 5) $$\frac{1}{\sqrt{a} – \sqrt{b}}$$;
2) $$\frac{4}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$$; 4) $$\frac{19}{2\sqrt{5} – 1}$$; 6) $$\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} – 1}$$.
💡 Подсказка (без ответа)
Используй формулу разности квадратов: (a − b)(a + b) = a² − b². Если в знаменателе сумма квадратных корней, умножь на разность. Если разность — умножь на сумму. Нужно избавиться от корня в знаменателе.
Решение по шагам
Освобождаем от иррациональности в знаменателе, умножая числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое знаменателю.
1) √2/(√2 + 1)
Умножим на (√2 − 1)/(√2 − 1):
√2/(√2 + 1) · (√2 − 1)/(√2 − 1) = √2(√2 − 1)/((√2)² − 1²) = (2 − √2)/(2 − 1) = 2 − √2
2) 4/(√7 + √3)
Умножим на (√7 − √3)/(√7 − √3):
4/(√7 + √3) · (√7 − √3)/(√7 − √3) = 4(√7 − √3)/((√7)² − (√3)²) = 4(√7 − √3)/(7 − 3) = 4(√7 − √3)/4 = √7 − √3
3) 15/(√15 − √12)
Умножим на (√15 + √12)/(√15 + √12):
15/(√15 − √12) · (√15 + √12)/(√15 + √12) = 15(√15 + √12)/((√15)² − (√12)²) = 15(√15 + √12)/(15 − 12) = 15(√15 + √12)/3 = 5(√15 + √12) = 5√15 + 5√12
Отметим: √12 = 2√3, поэтому ответ можно записать как 5√15 + 10√3
4) 19/(2√5 − 1)
Умножим на (2√5 + 1)/(2√5 + 1):
19/(2√5 − 1) · (2√5 + 1)/(2√5 + 1) = 19(2√5 + 1)/((2√5)² − 1²) = 19(2√5 + 1)/(20 − 1) = 19(2√5 + 1)/19 = 2√5 + 1
5) 1/(√a − √b)
Умножим на (√a + √b)/(√a + √b):
1/(√a − √b) · (√a + √b)/(√a + √b) = (√a + √b)/(a − b)
6) (√3 + 1)/(√3 − 1)
Умножим на (√3 + 1)/(√3 + 1):
(√3 + 1)/(√3 − 1) · (√3 + 1)/(√3 + 1) = (√3 + 1)²/((√3)² − 1²) = (3 + 2√3 + 1)/(3 − 1) = (4 + 2√3)/2 = 2 + √3