Номер 580 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 580.
Найдите значение выражения:
1) (3$$\sqrt{2}$$ + 1)($$\sqrt{8}$$ – 2); 3) (10 – 4$$\sqrt{6}$$)(2 + $$\sqrt{6}$$)²;
2) (3 – 2$$\sqrt{7}$$)² + (3 + 2$$\sqrt{7}$$)²; 4) ($$\sqrt{9 – 4\sqrt{2}}$$ + ($$\sqrt{9 + 4\sqrt{2}}$$)².
💡 Подсказка (без ответа)
1) Упростите √8 перед раскрытием скобок. 2) Возведите каждое выражение в квадрат отдельно, заметив, что корни сократятся при сложении. 3) Вычислите сначала (2 + √6)², затем примените формулу разности квадратов. 4) Применив формулу квадрата суммы, найдите произведение подкоренных выражений через разность квадратов.
Решение по шагам
Найдем значение каждого выражения пошагово.
1) (3√2 + 1)(√8 – 2)
Сначала упростим √8: √8 = √(4·2) = 2√2
Подставим: (3√2 + 1)(2√2 – 2)
Раскроем скобки по формуле (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd: = 3√2 · 2√2 + 3√2 · (–2) + 1 · 2√2 + 1 · (–2) = 6 · 2 – 6√2 + 2√2 – 2 = 12 – 6√2 + 2√2 – 2 = 10 – 4√2
2) (3 – 2√7)² + (3 + 2√7)²
Раскроем первый квадрат (a – b)² = a² – 2ab + b²: (3 – 2√7)² = 9 – 12√7 + 4·7 = 9 – 12√7 + 28 = 37 – 12√7
Раскроем второй квадрат (a + b)² = a² + 2ab + b²: (3 + 2√7)² = 9 + 12√7 + 4·7 = 9 + 12√7 + 28 = 37 + 12√7
Сложим: 37 – 12√7 + 37 + 12√7 = 74
3) (10 – 4√6)(2 + √6)²
Сначала раскроем квадрат (2 + √6)²: (2 + √6)² = 4 + 4√6 + 6 = 10 + 4√6
Теперь умножим: (10 – 4√6)(10 + 4√6)
Это разность квадратов (a – b)(a + b) = a² – b²: = 10² – (4√6)² = 100 – 16·6 = 100 – 96 = 4
4) (√(9 – 4√2) + √(9 + 4√2))²
Обозначим: a = √(9 – 4√2), b = √(9 + 4√2)
Раскроем квадрат суммы (a + b)² = a² + 2ab + b²: = (9 – 4√2) + 2√(9 – 4√2)·√(9 + 4√2) + (9 + 4√2) = 9 – 4√2 + 9 + 4√2 + 2√[(9 – 4√2)(9 + 4√2)] = 18 + 2√[81 – 16·2] = 18 + 2√[81 – 32] = 18 + 2√49 = 18 + 2·7 = 18 + 14 = 32