Номер 579 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 579.
Упростите выражение:
1) (2$$\sqrt{3}$$ – 1)($$\sqrt{27}$$ + 2); 4) (7 + 4$$\sqrt{3}$$)(2 – $$\sqrt{3}$$)²;
2) ($$\sqrt{5}$$ – 2)² – (3 + $$\sqrt{5}$$)²; 5) ($$\sqrt{6+2\sqrt{5}}$$ – $$\sqrt{6–2\sqrt{5}}$$)².
3) $$\sqrt{\sqrt{17} – 4}$$ · $$\sqrt{\sqrt{17} – 4}$$.
💡 Подсказка (без ответа)
1) Упростите корни, используя разложение на множители (√27 = 3√3). 2) Применяйте формулу квадрата разности и суммы (a ± b)² = a² ± 2ab + b². 3) Помните, что √a · √a = a. 4) После упрощения (2 – √3)² получится выражение, которое даст разность квадратов. 5) Определите, на какие полные квадраты можно разложить выражения под корнями.
Решение по шагам
- (2√3 – 1)(√27 + 2)
Сначала упростим √27 = √(9·3) = 3√3
Получаем: (2√3 – 1)(3√3 + 2)
Раскроем скобки: = 2√3 · 3√3 + 2√3 · 2 – 1 · 3√3 – 1 · 2 = 6·3 + 4√3 – 3√3 – 2 = 18 + √3 – 2 = 16 + √3
- (√5 – 2)² – (3 + √5)²
Раскроем первый квадрат: (√5 – 2)² = 5 – 4√5 + 4 = 9 – 4√5
Раскроем второй квадрат: (3 + √5)² = 9 + 6√5 + 5 = 14 + 6√5
Вычтем: (9 – 4√5) – (14 + 6√5) = 9 – 4√5 – 14 – 6√5 = –5 – 10√5
- √(√17 – 4) · √(√17 – 4)
Произведение одинаковых корней равно подкоренному выражению: = √17 – 4
- (7 + 4√3)(2 – √3)²
Сначала найдём (2 – √3)²: (2 – √3)² = 4 – 4√3 + 3 = 7 – 4√3
Теперь умножим: (7 + 4√3)(7 – 4√3)
Это разность квадратов: (a + b)(a – b) = a² – b² = 7² – (4√3)² = 49 – 16·3 = 49 – 48 = 1
- (√(6 + 2√5) – √(6 – 2√5))²
Основная идея: заметим, что 6 + 2√5 = (√5 + 1)² и 6 – 2√5 = (√5 – 1)²
Проверим: (√5 + 1)² = 5 + 2√5 + 1 = 6 + 2√5 ✓ (√5 – 1)² = 5 – 2√5 + 1 = 6 – 2√5 ✓
Поэтому: √(6 + 2√5) = √5 + 1 √(6 – 2√5) = √5 – 1
Получаем: (√5 + 1 – (√5 – 1))² = (√5 + 1 – √5 + 1)² = 2² = 4