Номер 513 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 513.
Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения
(3/4 – 4a + a² + 2/a² – 4) · (a – 2)² – 2a – 4/a + 2
не зависит от переменной а.
💡 Подсказка (без ответа)
Разложи знаменатели на множители: 4 - 4a + a² = (a - 2)² и a² - 4 = (a - 2)(a + 2). Затем приведи дроби в скобках к общему знаменателю и упрости произведение.
Решение по шагам
Упростим выражение по частям.
Шаг 1. Разберемся с первой дробью в скобках:
3/4 - 4a + a² + 2/a² - 4
В числителе: 3 - 4a + a² + 2 = a² - 4a + 5
В знаменателе: a² - 4 = (a - 2)(a + 2)
Стало: (a² - 4a + 5)/((a - 2)(a + 2))
Шаг 2. Умножаем на (a - 2)²:
((a² - 4a + 5)/((a - 2)(a + 2))) · (a - 2)² = (a² - 4a + 5)(a - 2)/((a + 2))
Шаг 3. Вторая часть выражения:
2a - 4/a + 2 = (2a - 4)/(a + 2) = 2(a - 2)/(a + 2)
Шаг 4. Вычитаем:
(a² - 4a + 5)(a - 2)/(a + 2) - 2(a - 2)/(a + 2)
= ((a² - 4a + 5)(a - 2) - 2(a - 2))/(a + 2)
= ((a - 2)((a² - 4a + 5) - 2))/(a + 2)
= ((a - 2)(a² - 4a + 3))/(a + 2)
Шаг 5. Разложим a² - 4a + 3:
a² - 4a + 3 = (a - 1)(a - 3)
Шаг 6. Подставим обратно:
((a - 2)(a - 1)(a - 3))/(a + 2)
Хм, это всё ещё зависит от a. Проверим исходное выражение ещё раз.
Переинтерпретация: Скорее всего, дроби разделены так:
(3/(4 - 4a + a²) + 2/(a² - 4)) · (a - 2)² - (2a - 4)/(a + 2)
Новое решение:
Знаменатель 4 - 4a + a² = (a - 2)²
Знаменатель a² - 4 = (a - 2)(a + 2)
(3/(a - 2)² + 2/((a - 2)(a + 2))) · (a - 2)² - 2(a - 2)/(a + 2)
= 3 + 2(a - 2)/(a + 2) - 2(a - 2)/(a + 2)
= 3