Номер 509 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 509.
Докажите, что сумма рационального и иррационального чисел является числом иррациональным.
💡 Подсказка (без ответа)
Используй метод от противного: предположи, что сумма рациональна, и покажи, что тогда иррациональное число можно выразить как разность двух рациональных чисел.
Решение по шагам
Докажем это от противного.
Шаг 1: Обозначим числа Пусть r — рациональное число, i — иррациональное число. Нужно доказать, что r + i — иррациональное число.
Шаг 2: Предположим противное Предположим, что сумма r + i = s, где s — рациональное число.
Шаг 3: Выразим иррациональное число Из равенства r + i = s получаем: i = s - r
Шаг 4: Анализируем результат По условию:
- s — рациональное число (по нашему предположению)
- r — рациональное число (по условию задачи)
Разность двух рациональных чисел (s - r) всегда является рациональным числом. Это свойство рациональных чисел: если a и b рациональны, то a - b тоже рационально.
Шаг 5: Получаем противоречие Мы получили, что i = s - r — рациональное число. Но по условию i — иррациональное число!
Это противоречие.
Шаг 6: Вывод Наше предположение неверно. Значит, сумма r + i не может быть рациональным числом.
Следовательно, сумма рационального и иррационального чисел является иррациональным числом. Что и требовалось доказать.