Номер 432 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 432.
Решите уравнение:
1) $$\sqrt{х}$$ + $$\sqrt{– х}$$ = 0;
2) $$\sqrt{х}$$ + $$\sqrt{– х}$$ = 1;
3) $$\sqrt{х² – 2х + 1}$$ + $$\sqrt{х² – 1}$$ = 0;
4) (х – 2)$$\sqrt{х – 3}$$ = 0.
💡 Подсказка (без ответа)
В первых трёх задачах найди область определения (когда существуют оба корня). В четвёртой — произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, но не забудь про область определения корня.
Решение по шагам
- √x + √(–x) = 0
Чтобы оба квадратных корня существовали, нужно:
- x ≥ 0 (для √x)
- –x ≥ 0, то есть x ≤ 0 (для √(–x))
Оба условия выполняются только при x = 0.
Проверка: √0 + √0 = 0 + 0 = 0 ✓
- √x + √(–x) = 1
Аналогично, область определения: x = 0.
Проверка: √0 + √0 = 0 ≠ 1
Уравнение не имеет решений, так как левая часть равна 0 при единственно возможном значении x = 0.
- √(x² – 2x + 1) + √(x² – 1) = 0
Преобразуем: √((x – 1)²) + √(x² – 1) = 0
То есть: |x – 1| + √(x² – 1) = 0
Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю только если каждое из них равно нулю:
- |x – 1| = 0 ⟹ x = 1
- √(x² – 1) = 0 ⟹ x² = 1 ⟹ x = ±1
Оба условия выполняются при x = 1.
Проверка: √((1 – 1)²) + √(1 – 1) = 0 + 0 = 0 ✓
- (x – 2)√(x – 3) = 0
Область определения: x – 3 ≥ 0, то есть x ≥ 3.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
- x – 2 = 0 ⟹ x = 2 (не подходит: 2 < 3)
- √(x – 3) = 0 ⟹ x – 3 = 0 ⟹ x = 3 (подходит: 3 ≥ 3)
Проверка: (3 – 2)√(3 – 3) = 1 · 0 = 0 ✓