Номер 429 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 429.
Докажите, что не существует такого значения х, при котором имеет смысл выражение $$\sqrt{– х² + 6х – 12}$$.
💡 Подсказка (без ответа)
Нужно проверить, при каких х подкоренное выражение неотрицательно. Выделите полный квадрат в выражении – х² + 6х – 12, представив его в виде –(х – 3)² + число. Тогда будет видно, что это выражение всегда отрицательно.
Решение по шагам
Чтобы выражение со знаком корня имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть нужно, чтобы:
– х² + 6х – 12 ≥ 0
Однако давайте проверим, может ли это выражение быть положительным или равным нулю.
Преобразуем выражение под корнем, выделив полный квадрат:
– х² + 6х – 12 = –(х² – 6х + 12)
Выделим полный квадрат в скобках:
х² – 6х + 12 = х² – 6х + 9 + 3 = (х – 3)² + 3
Тогда: – х² + 6х – 12 = –((х – 3)² + 3) = –(х – 3)² – 3
Теперь видно, что: (х – 3)² ≥ 0 при всех значениях х
Поэтому: –(х – 3)² ≤ 0 при всех значениях х
А значит: –(х – 3)² – 3 ≤ –3 < 0 при всех значениях х
Вывод: подкоренное выражение всегда отрицательно, независимо от значения х. Следовательно, не существует такого значения х, при котором это выражение имело бы смысл.