Номер 374 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 374.
Докажите, что значение выражения 27⁶ – 9⁷ кратно 48.
💡 Подсказка (без ответа)
Приведи 27 и 9 к одному основанию (к степеням тройки). Затем вынеси общий множитель и посмотри, можно ли получить множитель 48.
Решение по шагам
Нужно доказать, что 27⁶ – 9⁷ делится на 48 без остатка.
Шаг 1. Приведём оба числа к одному основанию. Заметим, что 27 = 3³, а 9 = 3².
Шаг 2. Запишем выражение через степени тройки: 27⁶ = (3³)⁶ = 3¹⁸ 9⁷ = (3²)⁷ = 3¹⁴
Шаг 3. Подставим в исходное выражение: 27⁶ – 9⁷ = 3¹⁸ – 3¹⁴
Шаг 4. Вынесем общий множитель 3¹⁴ за скобки: 3¹⁸ – 3¹⁴ = 3¹⁴(3⁴ – 1) = 3¹⁴(81 – 1) = 3¹⁴ · 80
Шаг 5. Представим 3¹⁴ через удобный нам вид. Заметим, что 48 = 16 · 3 = 2⁴ · 3.
Шаг 6. Запишем 3¹⁴ как 3 · 3¹³: 3¹⁴ · 80 = 3 · 3¹³ · 80
Шаг 7. Разложим 80 = 16 · 5 = 2⁴ · 5: 3 · 3¹³ · 2⁴ · 5 = 2⁴ · 3 · 5 · 3¹³ = 48 · 5 · 3¹³
Шаг 8. Видим, что выражение представлено в виде 48 · (5 · 3¹³), то есть делится на 48.
Что и требовалось доказать.