Номер 365 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 365.
Постройте график функции:
1) у = x³ + x²/x + 1;
2) y = x⁴ – 4x²/x² – 4.
💡 Подсказка (без ответа)
В обеих задачах нужно упростить дробь, разложив числитель и знаменатель на множители. После сокращения получится простая функция у = x², но с ограничениями на область определения — именно эти ограниченные значения отмечают выколотые точки на графике.
Решение по шагам
Разберемся с каждой функцией, упростив её перед построением графика.
1) у = (x³ + x²)/(x + 1)
Шаг 1. Упростим дробь, разложив числитель на множители. В числителе: x³ + x² = x²(x + 1)
Шаг 2. Подставим в исходную функцию: у = x²(x + 1)/(x + 1)
Шаг 3. Сократим (x + 1) на (x + 1), но помним, что x ≠ -1: у = x² при x ≠ -1
Шаг 4. Это парабола у = x², но с выколотой точкой в x = -1. При x = -1 функция не определена, хотя если подставить в упрощенное выражение: у = (-1)² = 1. Таким образом, график — это парабола у = x² с выколотой точкой (-1; 1).
Шаг 5. Для построения:
- Берем точки: (-2; 4), (-1; не определено), (0; 0), (1; 1), (2; 4)
- Рисуем параболу и отмечаем пустую точку при x = -1
2) у = (x⁴ – 4x²)/(x² – 4)
Шаг 1. Разложим числитель на множители: x⁴ – 4x² = x²(x² – 4)
Шаг 2. Разложим знаменатель: x² – 4 = (x – 2)(x + 2)
Шаг 3. Заметим, что x² – 4 = (x – 2)(x + 2) можно представить в числителе: x²(x² – 4) = x²(x – 2)(x + 2)
Шаг 4. Подставим в исходную функцию: у = x²(x – 2)(x + 2)/((x – 2)(x + 2))
Шаг 5. Сократим (x – 2)(x + 2), но помним, что x ≠ 2 и x ≠ -2: у = x² при x ≠ 2 и x ≠ -2
Шаг 6. График — парабола у = x² с двумя выколотыми точками. При x = 2: у = 4 (точка (2; 4) выколота) При x = -2: у = 4 (точка (-2; 4) выколота)
Шаг 7. Для построения:
- Рисуем параболу у = x² с точками: (-3; 9), (-2; не определено), (-1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; не определено), (3; 9)
- Отмечаем две пустые точки при x = -2 и x = 2