Номер 306 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 306.
Тетрадь стоит 19 р. У покупателя имеются монеты только по 5 р., а у продавца – только по 2 р. Может ли покупатель рассчитаться за тетрадь без дополнительного размера денег? В случае утвердительного ответа определите, какое наименьшее количество монет соответствующего достоинства должны иметь покупатель и продавец.
💡 Подсказка (без ответа)
Составь уравнение: если покупатель даст x монет по 5 р., а продавец вернёт y монет по 2 р., то 5x - 2y = 19. Найди наименьшие положительные целые x и y, проверяя значения y подстановкой.
Решение по шагам
Нужно выяснить, может ли покупатель расплатиться монетами по 5 р., а продавец дать сдачу монетами по 2 р.
Шаг 1. Обозначим переменные
Пусть покупатель даст x монет по 5 р., а продавец даст сдачу y монет по 2 р.
Шаг 2. Составим уравнение
Покупатель даёт: 5x р. Продавец возвращает сдачу: 2y р.
Должно выполниться: 5x - 2y = 19
Шаг 3. Решим диофантово уравнение
Переносим: 5x = 19 + 2y
Нам нужно найти наименьшие положительные целые числа x и y.
Проверим значения y:
- Если y = 1: 5x = 19 + 2 = 21, x = 4,2 (не целое)
- Если y = 2: 5x = 19 + 4 = 23 (не делится на 5)
- Если y = 3: 5x = 19 + 6 = 25, x = 5 ✓
Шаг 4. Проверим ответ
Покупатель даёт: 5 · 5 = 25 р. Продавец возвращает: 2 · 3 = 6 р. Разница: 25 - 6 = 19 р. ✓
Шаг 5. Проверим, нет ли меньшего решения
Общее решение: x = 5 + 2t, y = 3 + 5t (где t — любое целое число)
Для t = -1: x = 3, y = -2 (y отрицательное — не подходит) Для t = 0: x = 5, y = 3 (минимальное решение) Для t = 1: x = 7, y = 8 (больше)