Номер 287 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 287.
Представьте в виде произведения выражение:
1) a⁻ ²– 4;
2) a⁻ ⁴b⁻ ⁶– 1;
3)25x⁻ ⁸y⁻ ¹² – z⁻ ²;
4) a⁻ ³+ b⁻ ³;
5) m⁻ ⁴– 6m⁻ ²p⁻ ¹ + 9p⁻ ²;
6) a⁻ ⁸ – 49a⁻ ².
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомни три главные формулы: разность квадратов A² – B² = (A – B)(A + B), сумма кубов A³ + B³ = (A + B)(A² – AB + B²) и полный квадрат (A – B)² = A² – 2AB + B². Сначала определи, какая формула подходит к каждому выражению, а потом аккуратно применяй её.
Решение по шагам
Нужно представить выражения в виде произведения, используя формулы сокращённого умножения и свойства степеней.
1) a⁻² – 4
Это разность квадратов: (a⁻¹)² – 2²
Применим формулу A² – B² = (A – B)(A + B):
a⁻² – 4 = (a⁻¹)² – 2² = (a⁻¹ – 2)(a⁻¹ + 2)
Можно также записать: (1/a – 2)(1/a + 2)
2) a⁻⁴b⁻⁶ – 1
Это разность квадратов: (a⁻²b⁻³)² – 1²
a⁻⁴b⁻⁶ – 1 = (a⁻²b⁻³ – 1)(a⁻²b⁻³ + 1)
3) 25x⁻⁸y⁻¹² – z⁻²
Преобразуем: 25x⁻⁸y⁻¹² = (5x⁻⁴y⁻⁶)²
Это разность квадратов:
25x⁻⁸y⁻¹² – z⁻² = (5x⁻⁴y⁻⁶)² – (z⁻¹)² = (5x⁻⁴y⁻⁶ – z⁻¹)(5x⁻⁴y⁻⁶ + z⁻¹)
4) a⁻³ + b⁻³
Это сумма кубов. Применим формулу A³ + B³ = (A + B)(A² – AB + B²)
a⁻³ + b⁻³ = (a⁻¹)³ + (b⁻¹)³ = (a⁻¹ + b⁻¹)((a⁻¹)² – a⁻¹·b⁻¹ + (b⁻¹)²)
a⁻³ + b⁻³ = (a⁻¹ + b⁻¹)(a⁻² – a⁻¹b⁻¹ + b⁻²)
5) m⁻⁴ – 6m⁻²p⁻¹ + 9p⁻²
Посмотрим на коэффициенты и степени. Это похоже на полный квадрат:
(m⁻²)² – 2·m⁻²·3p⁻¹ + (3p⁻¹)²
Это квадрат разности: (A – B)² = A² – 2AB + B²
m⁻⁴ – 6m⁻²p⁻¹ + 9p⁻² = (m⁻² – 3p⁻¹)²
6) a⁻⁸ – 49a⁻²
Вынесем общий множитель a⁻⁸:
a⁻⁸ – 49a⁻² = a⁻⁸(1 – 49a⁶)
Или можно записать как разность квадратов другим способом:
a⁻⁸ – 49a⁻² = a⁻⁸ – 49a⁻² = (a⁻⁴)² – (7a⁻¹)² = (a⁻⁴ – 7a⁻¹)(a⁻⁴ + 7a⁻¹)