Номер 127 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк

Заметь, что разности чисел в скобках одинаковые (например, 3 - 1 = 2, 5 - 3 = 2). Разложи каждую дробь на две простые дроби, используя формулу 1/((x - p)(x - q)) = 1/(q - p) · (1/(x - p) - 1/(x - q)). После сложения большинство членов взаимно уничтожатся (телескопическая сумма).

Заметим, что каждая дробь имеет вид произведения двух множителей в знаменателе, которые отличаются на 2. Используем метод разложения на простые дроби через разность.

Для дроби 1/((a - b)(a - c)), где c - b = 2, применим приём: 1/((a - b)(a - c)) = 1/2 · (1/(a - b) - 1/(a - c))

Проверим эту формулу: 1/2 · (1/(a - b) - 1/(a - c)) = 1/2 · ((a - c) - (a - b))/((a - b)(a - c)) = 1/2 · (b - c)/((a - b)(a - c)) = 1/2 · (-2)/((a - b)(a - c)) = -1/((a - b)(a - c))

Исправляем: нужна 1/((a - b)(a - c)) = 1/2 · (1/(a - c) - 1/(a - b)), где c > b

Применяем к нашим дробям:

Первая дробь: 1/((a - 1)(a - 3)) = 1/2 · (1/(a - 3) - 1/(a - 1))

Вторая дробь: 1/((a - 3)(a - 5)) = 1/2 · (1/(a - 5) - 1/(a - 3))

Третья дробь: 1/((a - 5)(a - 7)) = 1/2 · (1/(a - 7) - 1/(a - 5))

Сложим все три дроби: 1/2 · (1/(a - 3) - 1/(a - 1)) + 1/2 · (1/(a - 5) - 1/(a - 3)) + 1/2 · (1/(a - 7) - 1/(a - 5))

= 1/2 · (1/(a - 3) - 1/(a - 1) + 1/(a - 5) - 1/(a - 3) + 1/(a - 7) - 1/(a - 5))

= 1/2 · (-1/(a - 1) + 1/(a - 7))

= 1/2 · (1/(a - 7) - 1/(a - 1))

= 1/2 · ((a - 1) - (a - 7))/((a - 7)(a - 1))

= 1/2 · 6/((a - 7)(a - 1))

= 3/((a - 7)(a - 1))