Номер 126 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 126.
Упростите выражение:
1/(a – 1)(a – 2) + 1/(a – 2)(a – 3) + 1/(a – 3)(a – 4).
💡 Подсказка (без ответа)
Заметь, что каждую дробь с произведением в знаменателе можно разложить по формуле: 1/(n(n+1)) = 1/n - 1/(n+1). После разложения все внутренние члены сократятся (телескопическая сумма). Останется только первый и последний члены.
Решение по шагам
Решим это выражение пошагово, используя метод разложения на простые дроби.
Шаг 1. Вспомним полезную формулу разложения:
Для дроби вида 1/((b)(b+1)) есть полезное свойство: 1/((b)(b+1)) = 1/b - 1/(b+1)
Это работает потому, что 1/b - 1/(b+1) = ((b+1) - b)/(b(b+1)) = 1/(b(b+1))
Шаг 2. Применим эту формулу к каждому слагаемому:
Первое слагаемое: 1/((a-1)(a-2)) Здесь b = a-1, поэтому: 1/((a-1)(a-2)) = 1/(a-1) - 1/(a-2)
Второе слагаемое: 1/((a-2)(a-3)) Здесь b = a-2, поэтому: 1/((a-2)(a-3)) = 1/(a-2) - 1/(a-3)
Третье слагаемое: 1/((a-3)(a-4)) Здесь b = a-3, поэтому: 1/((a-3)(a-4)) = 1/(a-3) - 1/(a-4)
Шаг 3. Сложим все три разложения:
[1/(a-1) - 1/(a-2)] + [1/(a-2) - 1/(a-3)] + [1/(a-3) - 1/(a-4)]
Шаг 4. Заметим, что происходит взаимное сокращение:
= 1/(a-1) - 1/(a-2) + 1/(a-2) - 1/(a-3) + 1/(a-3) - 1/(a-4)
Помеченные попарно члены сокращаются (это называется телескопической суммой):
- (-1/(a-2) + 1/(a-2) = 0)
- (-1/(a-3) + 1/(a-3) = 0)
Шаг 5. Остаётся:
= 1/(a-1) - 1/(a-4)