Номер 1125 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 1125.
Найдите значение выражения:
1) $$\frac{5}{4 – 3\sqrt{2}}$$ – $$\frac{5}{4 + 3\sqrt{2}}$$;
2) $$\frac{1}{\sqrt{4 + \sqrt{15}} + 1}$$ – $$\frac{1}{\sqrt{4 + \sqrt{15}} – 1}$$;
3) ($$\sqrt{5 – 2\sqrt{6}}$$ + $$\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$$)2.
💡 Подсказка (без ответа)
1) Приведи дроби к общему знаменателю, используй формулу разности квадратов (a – b)(a + b) = a² – b² для знаменателя. 2) То же: общий знаменатель, разность квадратов, затем избавься от иррациональности в полученном знаменателе. 3) Представь выражения под корнями как полные квадраты: заметь, что 5 ± 2√6 = (√3 ± √2)²
Решение по шагам
Решу каждый пункт, избавляясь от иррациональности в знаменателе.
1) 5/(4 – 3√2) – 5/(4 + 3√2)
Приведу к общему знаменателю:
= 5(4 + 3√2)/((4 – 3√2)(4 + 3√2)) – 5(4 – 3√2)/((4 + 3√2)(4 – 3√2))
= [5(4 + 3√2) – 5(4 – 3√2)]/[(4 – 3√2)(4 + 3√2)]
Знаменатель: (4)² – (3√2)² = 16 – 9·2 = 16 – 18 = –2
Числитель: 5(4 + 3√2 – 4 + 3√2) = 5·6√2 = 30√2
= 30√2/(–2) = –15√2
2) 1/(√(4 + √15) + 1) – 1/(√(4 + √15) – 1)
Обозначу √(4 + √15) = a для удобства.
= 1/(a + 1) – 1/(a – 1)
= [(a – 1) – (a + 1)]/[(a + 1)(a – 1)]
= (a – 1 – a – 1)/(a² – 1)
= –2/(a² – 1)
Теперь найду a²: a² = 4 + √15
Тогда a² – 1 = 4 + √15 – 1 = 3 + √15
= –2/(3 + √15)
Избавлюсь от иррациональности: = –2(3 – √15)/[(3 + √15)(3 – √15)]
= –2(3 – √15)/(9 – 15)
= –2(3 – √15)/(–6)
= (3 – √15)/3
= 1 – √15/3
3) (√(5 – 2√6) + √(5 + 2√6))²
Разложу подкоренные выражения. Заметим: 5 – 2√6 = 3 – 2√6 + 2 = (√3)² – 2√3·√2 + (√2)² = (√3 – √2)²
Поэтому √(5 – 2√6) = √3 – √2 (берём положительный корень)
Аналогично: 5 + 2√6 = 3 + 2√6 + 2 = (√3)² + 2√3·√2 + (√2)² = (√3 + √2)²
Поэтому √(5 + 2√6) = √3 + √2
Тогда: (√3 – √2 + √3 + √2)² = (2√3)² = 4·3 = 12