Номер 1077 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 1077.
Докажите, что если a + b + c/a + b – c = a – b + c/a – b – c, то b = 0 или с = 0.
💡 Подсказка (без ответа)
Примени основное свойство пропорции: перемножь крест-накрест числители и знаменатели. Затем раскрой обе скобки и упрости полученное уравнение.
Решение по шагам
Дано: (a + b + c)/(a + b - c) = (a - b + c)/(a - b - c)
Нужно доказать: b = 0 или c = 0
Шаг 1. Применим основное свойство пропорции (перекрёстное умножение): (a + b + c) · (a - b - c) = (a - b + c) · (a + b - c)
Шаг 2. Раскроем скобки слева: (a + b + c)(a - b - c) = a² - ab - ac + ab - b² - bc + ac - bc - c² = a² - b² - c² - 2bc
Шаг 3. Раскроем скобки справа: (a - b + c)(a + b - c) = a² + ab - ac - ab - b² + bc + ac + bc - c² = a² - b² - c² + 2bc
Шаг 4. Приравняем левую и правую части: a² - b² - c² - 2bc = a² - b² - c² + 2bc
Шаг 5. Упростим (вычтем a² - b² - c² из обеих частей): -2bc = 2bc
Шаг 6. Перенесём всё в одну сторону: -2bc - 2bc = 0 -4bc = 0 4bc = 0
Шаг 7. Из условия 4bc = 0 следует: bc = 0
Это означает, что либо b = 0, либо c = 0 (или оба равны нулю).
Что и требовалось доказать.