Номер 1076 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 1076.
Упростите выражение:
1/a(a + 3) + 1/(a + 3)(a + 6) + 1/(a + 6)(a + 9) + 1/(a + 9)(a + 12).
💡 Подсказка (без ответа)
Заметь, что каждая дробь имеет вид 1/(n(n+3)). Попробуй разложить такую дробь на разность двух дробей: 1/(n(n+3)) = (1/3)(1/n - 1/(n+3)). После этого сложи все четыре выражения — многие слагаемые сокращатся (телескопический ряд).
Решение по шагам
Нужно упростить сумму дробей. Заметим, что каждая дробь имеет вид 1/(n(n+3)), где множители отличаются на 3.
Используем метод разложения на простые дроби. Для дроби вида 1/(n(n+3)) применим формулу:
1/(n(n+3)) = (1/3) · (1/n - 1/(n+3))
Проверим: (1/n - 1/(n+3)) = ((n+3) - n)/(n(n+3)) = 3/(n(n+3)), поэтому 1/(n(n+3)) = (1/3) · (1/n - 1/(n+3)) ✓
Теперь применим эту формулу к каждому слагаемому:
1/(a(a+3)) = (1/3)(1/a - 1/(a+3))
1/((a+3)(a+6)) = (1/3)(1/(a+3) - 1/(a+6))
1/((a+6)(a+9)) = (1/3)(1/(a+6) - 1/(a+9))
1/((a+9)(a+12)) = (1/3)(1/(a+9) - 1/(a+12))
Сложим все четыре выражения:
(1/3)[1/a - 1/(a+3) + 1/(a+3) - 1/(a+6) + 1/(a+6) - 1/(a+9) + 1/(a+9) - 1/(a+12)]
Это телескопический ряд — большинство членов сокращаются:
(1/3)[1/a - 1/(a+12)]
Упростим:
(1/3) · ((a+12) - a)/(a(a+12)) = (1/3) · 12/(a(a+12)) = 4/(a(a+12))