Номер 1009 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 1009.
Найдите все значения а, при которых имеет два различных действительных корня уравнение:
1) ax2 + 2x – 1 = 0;
2) (a + 1)x2 – (2a – 3)x + a = 0;
3) (a – 3)x2 – 2(a – 5)x + a – 2 = 0.
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомни условие существования двух различных корней квадратного уравнения: дискриминант D > 0. Не забудь проверить, что коэффициент при x² не равен нулю (иначе уравнение не будет квадратным). Вычисли дискриминант через формулу D = b² – 4ac и реши неравенство D > 0 относительно параметра a.
Решение по шагам
Для того чтобы квадратное уравнение имело два различных действительных корня, нужно, чтобы дискриминант был строго больше нуля (D > 0). Также коэффициент при x² не должен равняться нулю.
1) ax² + 2x – 1 = 0
Сначала нужно, чтобы a ≠ 0 (иначе это не квадратное уравнение).
Вычислим дискриминант: D = 2² – 4 · a · (–1) = 4 + 4a
Для двух различных корней нужно D > 0: 4 + 4a > 0 4a > –4 a > –1
Ответ: a > –1 и a ≠ 0, то есть a ∈ (–1; 0) ∪ (0; +∞)
2) (a + 1)x² – (2a – 3)x + a = 0
Нужно a + 1 ≠ 0, то есть a ≠ –1 (иначе не квадратное уравнение).
Вычислим дискриминант: D = (–(2a – 3))² – 4(a + 1) · a D = (2a – 3)² – 4a(a + 1) D = 4a² – 12a + 9 – 4a² – 4a D = –16a + 9
Для двух различных корней нужно D > 0: –16a + 9 > 0 –16a > –9 a < 9/16
Ответ: a < 9/16 и a ≠ –1, то есть a ∈ (–∞; –1) ∪ (–1; 9/16)
3) (a – 3)x² – 2(a – 5)x + a – 2 = 0
Нужно a – 3 ≠ 0, то есть a ≠ 3.
Вычислим дискриминант: D = (–2(a – 5))² – 4(a – 3)(a – 2) D = 4(a – 5)² – 4(a – 3)(a – 2) D = 4((a – 5)² – (a – 3)(a – 2)) D = 4(a² – 10a + 25 – (a² – 2a – 3a + 6)) D = 4(a² – 10a + 25 – a² + 5a – 6) D = 4(–5a + 19)
Для двух различных корней нужно D > 0: 4(–5a + 19) > 0 –5a + 19 > 0 –5a > –19 a < 19/5 a < 3,8
Ответ: a < 3,8 и a ≠ 3, то есть a ∈ (–∞; 3) ∪ (3; 3,8)