Номер 972 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 972.
Моторная лодка прошла 30 км по течению реки и возвратилась обратно, затратив на весь путь 5 ч 20 мин. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь скорость лодки в стоячей воде буквой x. Запиши скорости по течению и против течения, используя скорость течения (3 км/ч). Найди время движения в каждую сторону по формуле время = расстояние / скорость и составь уравнение, приравняв сумму времён к 5 ч 20 мин (или 16/3 часа).
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим скорость лодки в стоячей воде как x км/ч.
Тогда:
- скорость лодки по течению: (x + 3) км/ч
- скорость лодки против течения: (x - 3) км/ч
Расстояние в одну сторону — 30 км.
Найдём время в пути:
- время по течению: 30/(x + 3) ч
- время против течения: 30/(x - 3) ч
Общее время: 5 ч 20 мин = 5 + 20/60 = 5 + 1/3 = 16/3 ч
Составим уравнение: 30/(x + 3) + 30/(x - 3) = 16/3
Приведём к общему знаменателю: (30(x - 3) + 30(x + 3))/((x + 3)(x - 3)) = 16/3
Упростим числитель: 30x - 90 + 30x + 90 = 60x
Получается: 60x/((x + 3)(x - 3)) = 16/3
Раскроем скобки в знаменателе: 60x/(x² - 9) = 16/3
Перемножим крест-накрест: 60x · 3 = 16(x² - 9) 180x = 16x² - 144
Перенесём всё в одну часть: 16x² - 180x - 144 = 0
Разделим на 4: 4x² - 45x - 36 = 0
Используем формулу корней квадратного уравнения: D = 45² + 4 · 4 · 36 = 2025 + 576 = 2601 √D = 51
Корни: x = (45 + 51)/(2 · 4) = 96/8 = 12 x = (45 - 51)/(2 · 4) = -6/8 (отрицательное, не подходит)
Проверка:
- по течению: 30/(12 + 3) = 30/15 = 2 ч
- против течения: 30/(12 - 3) = 30/9 = 10/3 ч = 3 ч 20 мин
- всего: 2 + 3 ч 20 мин = 5 ч 20 мин ✓