Номер 883 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 883.
Верно ли для положительных чисел a и b, что:
а) если a² > b², то a³ > b³, б) если a³ > b³, то a² > b²?
💡 Подсказка (без ответа)
Подумай, как связаны неравенства a² > b² и a > b для положительных чисел. Используй свойство: если a > b > 0, то a² > b² и a³ > b³. Вспомни про возведение в степень и извлечение корней — они сохраняют знак неравенства при положительных основаниях.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Проанализируем оба утверждения для положительных чисел a и b.
а) Если a² > b², то a³ > b³?
Шаг 1. Возьмём квадратный корень из обеих частей неравенства a² > b². Поскольку a и b положительные, получаем: a > b
Шаг 2. Теперь у нас есть a > b, где оба числа положительные.
Шаг 3. Умножим обе части неравенства a > b на положительное число a·b: a·b·a > b·a·b a²·b > a·b²
Шаг 4. Или проще: если a > b и оба положительные, то a³ > b³. Можно умножить неравенство a > b три раза само на себя (или применить монотонность функции y = x³).
Ответ на а): ДА, верно.
б) Если a³ > b³, то a² > b²?
Шаг 1. Из неравенства a³ > b³ извлечём кубический корень. Поскольку функция y = x³ возрастает, получаем: a > b
Шаг 2. Если a > b и оба числа положительные, то возведём обе части в квадрат: a² > b²
Ответ на б): ДА, верно.
Вывод: Обе части утверждаются верны для положительных чисел, потому что степенные функции y = x² и y = x³ монотонны на множестве положительных чисел.