Номер 842 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 842.
Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство:
а) 3(а + 1) + а < 4(2 + а); б) (7р − 1)(7р + 1) < 49р²; в) (а − 2)² > а(а − 4); г) (2а + 3)(2а + 1) > 4a(a + 2).
💡 Подсказка (без ответа)
Раскройте скобки с обеих сторон неравенства, упростите левую и правую части. После сокращения одинаковых слагаемых должно остаться простое верное числовое неравенство типа 3 < 8 или 4 > 0.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Нужно раскрыть скобки, упростить и показать, что получается верное неравенство.
а) 3(а + 1) + а < 4(2 + а)
Раскроем скобки слева: 3а + 3 + а = 4а + 3
Раскроем скобки справа: 8 + 4а
Получаем: 4а + 3 < 8 + 4а
Перенесём 4а влево: 4а - 4а + 3 < 8
Упростим: 3 < 8 ✓
Это верное неравенство, значит исходное верно при любом а.
б) (7р − 1)(7р + 1) < 49р²
Слева используем формулу разности квадратов (х − у)(х + у) = х² − у²: (7р)² − 1² = 49р² − 1
Получаем: 49р² − 1 < 49р²
Перенесём 49р² влево: 49р² − 49р² − 1 < 0
Упростим: −1 < 0 ✓
Это верное неравенство, значит исходное верно при любом р.
в) (а − 2)² > а(а − 4)
Раскроем скобки слева: а² − 4а + 4
Раскроем скобки справа: а² − 4а
Получаем: а² − 4а + 4 > а² − 4а
Перенесём а² и −4а влево: а² − 4а − а² + 4а + 4 > 0
Упростим: 4 > 0 ✓
Это верное неравенство, значит исходное верно при любом а.
г) (2а + 3)(2а + 1) > 4а(а + 2)
Раскроем скобки слева: 4а² + 2а + 6а + 3 = 4а² + 8а + 3
Раскроем скобки справа: 4а² + 8а
Получаем: 4а² + 8а + 3 > 4а² + 8а
Перенесём 4а² и 8а влево: 4а² + 8а − 4а² − 8а + 3 > 0
Упростим: 3 > 0 ✓
Это верное неравенство, значит исходное верно при любом а.