Номер 841 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 841.
Даны выражения 4b(b + 1) и (2b + 7)(2b − 8).
Сравните их значения при b = −3; −2; 10. Можно ли утверждать, что при любом значении b значение первого выражения больше, чем значение второго?
💡 Подсказка (без ответа)
Подставь каждое значение b в оба выражения и сравни полученные числа. Затем раскрой скобки в обоих выражениях, найди их разность и определи, при каких значениях b эта разность положительна.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Сравним два выражения при разных значениях b.
Первое выражение: 4b(b + 1) Второе выражение: (2b + 7)(2b − 8)
При b = −3:
Первое: 4·(−3)·(−3 + 1) = 4·(−3)·(−2) = 24
Второе: (2·(−3) + 7)·(2·(−3) − 8) = (−6 + 7)·(−6 − 8) = 1·(−14) = −14
Сравнение: 24 > −14 ✓ (первое больше)
При b = −2:
Первое: 4·(−2)·(−2 + 1) = 4·(−2)·(−1) = 8
Второе: (2·(−2) + 7)·(2·(−2) − 8) = (−4 + 7)·(−4 − 8) = 3·(−12) = −36
Сравнение: 8 > −36 ✓ (первое больше)
При b = 10:
Первое: 4·10·(10 + 1) = 4·10·11 = 440
Второе: (2·10 + 7)·(2·10 − 8) = (20 + 7)·(20 − 8) = 27·12 = 324
Сравнение: 440 > 324 ✓ (первое больше)
Можно ли утверждать, что при любом b первое выражение больше?
Разложим оба выражения:
Первое: 4b(b + 1) = 4b² + 4b
Второе: (2b + 7)(2b − 8) = 4b² − 16b + 14b − 56 = 4b² − 2b − 56
Найдём разность: (4b² + 4b) − (4b² − 2b − 56) = 4b² + 4b − 4b² + 2b + 56 = 6b + 56
Первое выражение больше второго, если 6b + 56 > 0
6b > −56
b > −56/6 = −9⅓
Вывод: Нельзя утверждать, что первое выражение больше при любом b. Это верно только когда b > −9⅓ (или примерно b > −9,33). При b ≤ −9⅓ второе выражение будет больше или равно первому.