Номер 790 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 790.
Докажите, что квадратный трёхчлен:
а) −x² + 20x − 103 не принимает положительных значений; б) x² − 16x + 65 не принимает отрицательных значений.
💡 Подсказка (без ответа)
Используйте метод выделения полного квадрата: представьте трёхчлен в виде (x ± a)² ± b. Затем проанализируйте знак полученного выражения, учитывая, что квадрат любого числа неотрицателен.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
а) Докажите, что −x² + 20x − 103 не принимает положительных значений
Нужно доказать, что −x² + 20x − 103 ≤ 0 при всех значениях x.
Преобразуем выражение, выделив полный квадрат:
−x² + 20x − 103 = −(x² − 20x + 103)
Внутри скобок выделим полный квадрат:
x² − 20x + 103 = x² − 20x + 100 + 3 = (x − 10)² + 3
Тогда:
−x² + 20x − 103 = −((x − 10)² + 3) = −(x − 10)² − 3
Анализируем:
- (x − 10)² ≥ 0 при всех x
- −(x − 10)² ≤ 0 при всех x
- −(x − 10)² − 3 ≤ −3 < 0 при всех x
Значит, выражение всегда отрицательно, положительных значений не принимает. ✓
б) Докажите, что x² − 16x + 65 не принимает отрицательных значений
Нужно доказать, что x² − 16x + 65 ≥ 0 при всех значениях x.
Выделим полный квадрат:
x² − 16x + 65 = x² − 16x + 64 + 1 = (x − 8)² + 1
Анализируем:
- (x − 8)² ≥ 0 при всех x
- (x − 8)² + 1 ≥ 1 > 0 при всех x
Значит, выражение всегда положительно (или равно 1 как минимум), отрицательных значений не принимает. ✓