Номер 767 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 767.
Докажите, что уравнение 12х² + 70х + а² + 1 = 0 при любых значениях а не имеет положительных корней.
💡 Подсказка (без ответа)
Попробуй предположить, что положительный корень всё-таки существует, и вырази а² через х. Затем проанализируй: какой знак будет у полученного выражения, если х > 0? Сравни с тем, что а² всегда неотрицательное.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Нужно доказать, что это уравнение не может иметь положительных корней ни при каких значениях параметра а.
Предположим, что уравнение имеет положительный корень х > 0.
Тогда при подстановке этого корня в уравнение должно выполняться: 12х² + 70х + а² + 1 = 0
Перепишем это равенство: 12х² + 70х + а² + 1 = 0 а² = -12х² - 70х - 1
Разберем правую часть. Пусть х > 0, тогда:
- 12х² > 0 (положительное число)
- 70х > 0 (положительное число)
- 1 > 0 (положительное число)
Поэтому: -12х² - 70х - 1 < 0 (это отрицательное число)
Получается: а² < 0
Но это невозможно! Квадрат любого действительного числа а всегда больше или равен нулю: а² ≥ 0
Мы получили противоречие: с одной стороны а² ≥ 0, с другой стороны а² < 0.
Значит, наше предположение неверно. Положительного корня не существует при любых значениях а.
Что и требовалось доказать.