Номер 766 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 766.
Докажите, что уравнение 7х² + bх − 23 = 0 при любых значениях b имеет один положительный и один отрицательный корень.
💡 Подсказка (без ответа)
Используй теорему Виета для произведения корней. Если произведение корней отрицательно, то корни имеют разные знаки. Проверь, что дискриминант положителен при любом b.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Нам нужно доказать, что уравнение 7х² + bх − 23 = 0 имеет корни разных знаков при любом значении b.
Шаг 1: Найдём произведение корней. По теореме Виета для уравнения ах² + bх + с = 0 произведение корней равно с/а.
В нашем уравнении: • a = 7 • c = −23
Произведение корней: х₁ · х₂ = −23/7
Шаг 2: Проанализируем знак произведения. Произведение х₁ · х₂ = −23/7 — это отрицательное число (отрицательное число делим на положительное).
Шаг 3: Сделаем вывод. Если произведение двух чисел отрицательно, то эти числа имеют разные знаки: одно положительное, другое отрицательное.
Это верно для любого значения b, потому что b влияет только на сумму корней (х₁ + х₂ = −b/7), а не на их произведение.
Шаг 4: Проверим, что корни действительно существуют. Дискриминант D = b² − 4·7·(−23) = b² + 644
Поскольку b² ≥ 0, то D = b² + 644 > 0 при любом b.
Это означает, что уравнение всегда имеет два различных действительных корня.