Номер 762 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 762.
Разность кубов двух последовательных натуральных чисел равна 919. Найдите эти числа.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначьте два последовательных натуральных числа как n и (n + 1). Запишите разность их кубов и приравняйте к 919. Раскройте скобки и упростите, чтобы получить квадратное уравнение.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим два последовательных натуральных числа как n и n + 1.
По условию разность их кубов равна 919: (n + 1)³ - n³ = 919
Разложим левую часть, используя формулу разности кубов a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²): (n + 1)³ - n³ = ((n + 1) - n)((n + 1)² + (n + 1)·n + n²) (n + 1)³ - n³ = 1·((n + 1)² + (n + 1)·n + n²)
Раскроем скобки в правой части: (n + 1)² = n² + 2n + 1 (n + 1)·n = n² + n n² = n²
Сложим: n² + 2n + 1 + n² + n + n² = 3n² + 3n + 1
Получаем уравнение: 3n² + 3n + 1 = 919
Перенесём 919 в левую часть: 3n² + 3n + 1 - 919 = 0 3n² + 3n - 918 = 0
Разделим на 3: n² + n - 306 = 0
Решаем квадратное уравнение через дискриминант: D = 1² - 4·1·(-306) = 1 + 1224 = 1225 √D = √1225 = 35
n₁ = (-1 + 35) / 2 = 34 / 2 = 17 n₂ = (-1 - 35) / 2 = -36 / 2 = -18
Так как нам нужны натуральные числа, берём n = 17.
Два последовательных числа: 17 и 18.
Проверка: 18³ - 17³ = 5832 - 4913 = 919 ✓