Номер 713 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 713.
Докажите, что прямая х − у = 4 имеет одну общую точку с параболой у = х² − 5х + 5, и найдите координаты этой общей точки.
💡 Подсказка (без ответа)
Приравняй правые части уравнений прямой и параболы. Перенеси всё в одну сторону и найди дискриминант полученного квадратного уравнения.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Чтобы найти общие точки прямой и параболы, нужно приравнять их правые части.
Шаг 1. Запишем уравнение прямой через у: y = x − 4
Шаг 2. Приравняем правые части: x − 4 = x² − 5x + 5
Шаг 3. Перенесём всё в одну сторону: x − 4 − x² + 5x − 5 = 0 −x² + 6x − 9 = 0
Умножим на −1: x² − 6x + 9 = 0
Шаг 4. Заметим, что это полный квадрат: (x − 3)² = 0
Шаг 5. Решаем: x − 3 = 0 x = 3
Шаг 6. Дискриминант уравнения x² − 6x + 9 = 0 равен: D = b² − 4ac = 36 − 36 = 0
Поскольку D = 0, уравнение имеет ровно один корень. Это значит, что прямая и парабола имеют ровно одну общую точку (прямая касается параболы).
Шаг 7. Найдём координату y, подставив x = 3 в уравнение прямой: y = 3 − 4 = −1
Проверка: подставим в уравнение параболы: y = 3² − 5·3 + 5 = 9 − 15 + 5 = −1 ✓