Номер 707 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 707.
Решите систему уравнений, используя способ сложения или подстановки:
а) $$
\left\{\begin{array}{l}
2 x^2+y^2=9 \\
x^2-y^2=3
\end{array}\right.
$$
б) $$
\left\{\begin{array}{l}
2 x^2-x y=33 \\
4 x-y=17
\end{array}\right.
$$
в) $$
\left\{\begin{array}{l}
3 x^2-2 y=1 \\
2 x^2-y^2=1
\end{array}\right.
$$
г) $$
\left\{\begin{array}{l}
x-y-4=0 \\
x^2+y^2=8,5
\end{array}\right.
$$
д) $$
\left\{\begin{array}{l}
x^2+4 y=10 \\
x-2 y=-5
\end{array}\right.
$$
е) $$
\left\{\begin{array}{l}
x-2 y+1=0 \\
5 x y+y^2=16
\end{array}\right.
$$
💡 Подсказка (без ответа)
Выбери подходящий метод: если в системе одно линейное уравнение, удобнее подстановка — выразить переменную и подставить. Если оба нелинейные, попробуй сложение. Для квадратных уравнений помни про дискриминант!
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
а) Система: 2x² + y² = 9 x² - y² = 3
Решение способом сложения:
Сложим оба уравнения: (2x² + y²) + (x² - y²) = 9 + 3 3x² = 12 x² = 4 x = 2 или x = -2
Подставим x² = 4 во второе уравнение: 4 - y² = 3 y² = 1 y = 1 или y = -1
Проверим все комбинации в первом уравнении:
- x = 2, y = 1: 2(4) + 1 = 9 ✓
- x = 2, y = -1: 2(4) + 1 = 9 ✓
- x = -2, y = 1: 2(4) + 1 = 9 ✓
- x = -2, y = -1: 2(4) + 1 = 9 ✓
Ответ: (2; 1), (2; -1), (-2; 1), (-2; -1)
б) Система: 2x² - xy = 33 4x - y = 17
Решение способом подстановки:
Из второго уравнения выразим y: y = 4x - 17
Подставим в первое уравнение: 2x² - x(4x - 17) = 33 2x² - 4x² + 17x = 33 -2x² + 17x = 33 -2x² + 17x - 33 = 0 2x² - 17x + 33 = 0
По формуле дискриминанта: D = 289 - 4(2)(33) = 289 - 264 = 25 x = (17 ± 5)/4
x₁ = 22/4 = 5,5 x₂ = 12/4 = 3
Найдём y:
- При x = 5,5: y = 4(5,5) - 17 = 22 - 17 = 5
- При x = 3: y = 4(3) - 17 = 12 - 17 = -5
Ответ: (5,5; 5), (3; -5)
в) Система: 3x² - 2y = 1 2x² - y² = 1
Решение способом подстановки:
Из первого уравнения выразим y: 3x² - 2y = 1 2y = 3x² - 1 y = (3x² - 1)/2
Подставим во второе уравнение: 2x² - ((3x² - 1)/2)² = 1 2x² - (3x² - 1)²/4 = 1
Умножим на 4: 8x² - (3x² - 1)² = 4 8x² - (9x⁴ - 6x² + 1) = 4 8x² - 9x⁴ + 6x² - 1 = 4 -9x⁴ + 14x² - 5 = 0 9x⁴ - 14x² + 5 = 0
Пусть t = x², тогда: 9t² - 14t + 5 = 0 D = 196 - 180 = 16 t = (14 ± 4)/18
t₁ = 18/18 = 1 t₂ = 10/18 = 5/9
Итак, x² = 1 или x² = 5/9
- x = ±1 или x = ±√(5/9) = ±√5/3
Найдём y для каждого случая:
- При x² = 1: y = (3 - 1)/2 = 1
- При x² = 5/9: y = (3·5/9 - 1)/2 = (5/3 - 1)/2 = (2/3)/2 = 1/3
Ответ: (1; 1), (-1; 1), (√5/3; 1/3), (-√5/3; 1/3)
г) Система: x - y - 4 = 0 x² + y² = 8,5
Решение способом подстановки:
Из первого уравнения: x = y + 4
Подставим во второе: (y + 4)² + y² = 8,5 y² + 8y + 16 + y² = 8,5 2y² + 8y + 7,5 = 0
Умножим на 2: 4y² + 16y + 15 = 0 D = 256 - 240 = 16 y = (-16 ± 4)/8
y₁ = -12/8 = -1,5 y₂ = -20/8 = -2,5
Найдём x:
- При y = -1,5: x = -1,5 + 4 = 2,5
- При y = -2,5: x = -2,5 + 4 = 1,5
Ответ: (2,5; -1,5), (1,5; -2,5)
д) Система: x² + 4y = 10 x - 2y = -5
Решение способом подстановки:
Из второго уравнения: x = 2y - 5
Подставим в первое: (2y - 5)² + 4y = 10 4y² - 20y + 25 + 4y = 10 4y² - 16y + 15 = 0 D = 256 - 240 = 16 y = (16 ± 4)/8
y₁ = 20/8 = 2,5 y₂ = 12/8 = 1,5
Найдём x:
- При y = 2,5: x = 2(2,5) - 5 = 0
- При y = 1,5: x = 2(1,5) - 5 = -2
Ответ: (0; 2,5), (-2; 1,5)
е) Система: x - 2y + 1 = 0 5xy + y² = 16
Решение способом подстановки:
Из первого уравнения: x = 2y - 1
Подставим во второе: 5(2y - 1)y + y² = 16 10y² - 5y + y² = 16 11y² - 5y - 16 = 0 D = 25 + 704 = 729 = 27² y = (5 ± 27)/22
y₁ = 32/22 = 16/11 y₂ = -22/22 = -1
Найдём x:
- При y = 16/11: x = 2(16/11) - 1 = 32/11 - 1 = 21/11
- При y = -1: x = 2(-1) - 1 = -3
Ответ: (21/11; 16/11), (-3; -1)