Номер 67 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 67.
Преобразуйте в дробь выражение:
а) x²/x² − 16 − 8(x − 2)/x² − 16
б) 64 − 2ab/(a − 8)² + 2ab − a²/(8 − a)²
💡 Подсказка (без ответа)
а) Дроби с одинаковым знаменателем — вычитай числители. Заметь полный квадрат в числителе и разность квадратов в знаменателе. б) Помни, что (8 − a)² = (a − 8)². Сложи числители, разложи результат на множители и сократи.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Задание №67. Преобразуйте в дробь выражение.
а) x²/(x² − 16) − 8(x − 2)/(x² − 16)
Шаг 1. Видим, что оба дроби имеют одинаковый знаменатель x² − 16. Значит, можем вычесть числители:
x²/(x² − 16) − 8(x − 2)/(x² − 16) = (x² − 8(x − 2))/(x² − 16)
Шаг 2. Раскроем скобки в числителе:
(x² − 8x + 16)/(x² − 16)
Шаг 3. Заметим, что числитель — это полный квадрат: x² − 8x + 16 = (x − 4)²
Знаменатель — разность квадратов: x² − 16 = (x − 4)(x + 4)
Шаг 4. Подставим и сократим:
(x − 4)²/((x − 4)(x + 4)) = (x − 4)/(x + 4)
Ответ: (x − 4)/(x + 4)
б) (64 − 2ab)/(a − 8)² + (2ab − a²)/(8 − a)²
Шаг 1. Заметим, что (8 − a)² = (−(a − 8))² = (a − 8)². Значит, знаменатели одинаковые.
Шаг 2. Приведём к общему знаменателю:
(64 − 2ab)/(a − 8)² + (2ab − a²)/(a − 8)² = (64 − 2ab + 2ab − a²)/(a − 8)²
Шаг 3. Упростим числитель:
(64 − a²)/(a − 8)²
Шаг 4. Разложим числитель на множители — разность квадратов:
64 − a² = (8 − a)(8 + a)
Знаменатель: (a − 8)² = (−(8 − a))² = (8 − a)²
Шаг 5. Сократим на (8 − a):
((8 − a)(8 + a))/(8 − a)² = (8 + a)/(8 − a)
Ответ: (8 + a)/(8 − a) или (a + 8)/(8 − a)