Номер 667 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 667.
Докажите, что:
а) $$
\frac{1}{11+2 \sqrt{30}}+\frac{1}{11-2 \sqrt{30}}=22 ;
$$
б) $$
\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}+\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2}=18
$$
💡 Подсказка (без ответа)
В обоих примерах приведи дроби к общему знаменателю. Заметь, что знаменатели можно сворачивать по формуле разности квадратов (a+b)(a-b) = a² - b². После этого останется упростить числитель.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
а) Докажем, что 1/(11+2√30) + 1/(11-2√30) = 22
Шаг 1. Приведём дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель: (11+2√30)(11-2√30)
Шаг 2. Вычислим знаменатель, используя формулу (a+b)(a-b) = a² - b²: (11+2√30)(11-2√30) = 11² - (2√30)² = 121 - 4·30 = 121 - 120 = 1
Шаг 3. Приведём к общему знаменателю: 1/(11+2√30) + 1/(11-2√30) = [(11-2√30) + (11+2√30)] / 1
Шаг 4. Сложим числитель: (11-2√30) + (11+2√30) = 11 + 11 - 2√30 + 2√30 = 22
Шаг 5. Результат: 22/1 = 22 ✓
б) Докажем, что (√5+2)/(√5-2) + (√5-2)/(√5+2) = 18
Шаг 1. Приведём дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель: (√5-2)(√5+2)
Шаг 2. Вычислим знаменатель по формуле (a-b)(a+b) = a² - b²: (√5-2)(√5+2) = (√5)² - 2² = 5 - 4 = 1
Шаг 3. Приведём к общему знаменателю: (√5+2)/(√5-2) + (√5-2)/(√5+2) = [(√5+2)² + (√5-2)²] / 1
Шаг 4. Раскроем скобки: (√5+2)² = 5 + 4√5 + 4 = 9 + 4√5 (√5-2)² = 5 - 4√5 + 4 = 9 - 4√5
Шаг 5. Сложим числители: (9 + 4√5) + (9 - 4√5) = 18
Шаг 6. Результат: 18/1 = 18 ✓