Номер 592 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 592.
Докажите, что уравнение не может иметь корни одинаковых знаков:
а) 3х² + 113х − 7 = 0 б) 5х² − 291х − 16 = 0
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомни теорему Виета: произведение корней квадратного уравнения ах² + bх + с = 0 равно с/а. Посмотри, какой знак у этого произведения в каждом уравнении.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Для доказательства используем теорему Виета. Если х₁ и х₂ — корни квадратного уравнения ах² + bх + с = 0, то произведение корней равно с/а.
Если корни имели бы одинаковые знаки, то их произведение было бы положительным (либо оба положительные, либо оба отрицательные).
а) 3х² + 113х − 7 = 0
По теореме Виета: х₁ · х₂ = с/а = −7/3 ≈ −2,33
Произведение корней отрицательно! Это означает, что корни имеют разные знаки (один положительный, один отрицательный).
Чтобы оба корня имели одинаковые знаки, нужно, чтобы их произведение было положительным. Но −7/3 < 0, поэтому корни не могут быть одного знака.
б) 5х² − 291х − 16 = 0
По теореме Виета: х₁ · х₂ = с/а = −16/5 = −3,2
Произведение корней отрицательно! Это означает, что корни имеют разные знаки.
Чтобы корни имели одинаковые знаки, их произведение должно быть положительным. Но −16/5 < 0, поэтому это невозможно.
Вывод: В обоих уравнениях свободный член с имеет отрицательный знак, а первый коэффициент а положительный. Поэтому с/а < 0, и корни обязательно будут иметь разные знаки.