Номер 507 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 507.
Докажите что значение выражения при 0 ≤ b ≤ 49 не зависит от b.
$$ \sqrt{b+49-14 \sqrt{b}}+\sqrt{b+49+14 \sqrt{b}} $$
💡 Подсказка (без ответа)
Попробуй заметить, что под корнями спрятаны полные квадраты. Представь b + 49 ± 14√b в виде (√b ± 7)². После извлечения корня раскрой модули, учитывая условие на b.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Нужно упростить выражение под корнями и показать, что b сокращается.
Шаг 1. Посмотрим на первое подкоренное выражение: b + 49 - 14√b
Попробуем представить это как полный квадрат вида (a - c)².
Разложим: b + 49 - 14√b = (√b)² + 7² - 2·7·√b = (√b - 7)²
Шаг 2. Посмотрим на второе подкоренное выражение: b + 49 + 14√b
Это будет: b + 49 + 14√b = (√b)² + 7² + 2·7·√b = (√b + 7)²
Шаг 3. Применяем корни к полным квадратам:
√((√b - 7)²) = |√b - 7|
√((√b + 7)²) = |√b + 7|
Шаг 4. Раскроем модули. При 0 ≤ b ≤ 49:
- √b ≥ 0, поэтому √b + 7 > 0, значит |√b + 7| = √b + 7
- √b ≤ 7 (так как √49 = 7), поэтому √b - 7 ≤ 0, значит |√b - 7| = 7 - √b
Шаг 5. Сложим полученные выражения:
(7 - √b) + (√b + 7) = 7 - √b + √b + 7 = 14
Видно, что все слагаемые с b сокращаются, остаётся только 14.
Вывод: Значение выражения равно 14 при любых значениях b из диапазона [0; 49], то есть не зависит от b.