Номер 496 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 496.
Сократите дробь:
а) $$
\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a \sqrt{a}+b \sqrt{b}}
$$
б) $$
\frac{a-\sqrt{3 a}+3}{a \sqrt{a}+3 \sqrt{3}}
$$
💡 Подсказка (без ответа)
В обеих дробях знаменатель можно свернуть по формуле суммы кубов: x³ + y³ = (x + y)(x² − xy + y²). Замени √a на x и √b на y (или √3 на y), чтобы увидеть эту формулу. После применения формулы числитель сократится со скобкой из знаменателя.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Задание 496: Сократите дроби
а) (√a + √b)/(a√a + b√b)
Шаг 1. Разберёмся, что в знаменателе.
a√a = a · a^(1/2) = a^(3/2) = (√a)³
b√b = b · b^(1/2) = b^(3/2) = (√b)³
Шаг 2. Применим формулу суммы кубов: x³ + y³ = (x + y)(x² − xy + y²)
Обозначим √a = x, √b = y
Тогда:
a√a + b√b = (√a)³ + (√b)³ = (√a + √b)((√a)² − √a · √b + (√b)²)
= (√a + √b)(a − √(ab) + b)
Шаг 3. Сократим дробь:
(√a + √b)/(√a + √b)(a − √(ab) + b) = 1/(a − √(ab) + b)
б) (a − √(3a) + 3)/(a√a + 3√3)
Шаг 1. Заметим: a − √(3a) + 3 = (√a)² − √a · √3 + (√3)²
Это похоже на вторую часть формулы суммы кубов!
Шаг 2. Знаменатель преобразуем:
a√a + 3√3 = (√a)³ + (√3)³
Шаг 3. Применим формулу x³ + y³ = (x + y)(x² − xy + y²):
(√a)³ + (√3)³ = (√a + √3)((√a)² − √a · √3 + (√3)²)
= (√a + √3)(a − √(3a) + 3)
Шаг 4. Сократим дробь:
(a − √(3a) + 3)/((√a + √3)(a − √(3a) + 3)) = 1/(√a + √3)
Можно избавиться от иррациональности, домножив на (√a − √3):
(√a − √3)/((√a + √3)(√a − √3)) = (√a − √3)/(a − 3)
Тогда полный ответ: 1/(√a + √3) или (√a − √3)/(a − 3)