Номер 441 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 441.
Является ли рациональным или иррациональным числом значение выражения:
а) $$
\sqrt{13+4 \sqrt{3}}-\sqrt{13-4 \sqrt{3}}
$$
б) $$
\sqrt{19-2 \sqrt{34}}+\sqrt{19+2 \sqrt{34}}
$$
💡 Подсказка (без ответа)
Попробуй представить выражение под корнем в виде (√a ± √b)². Для этого предположи, что 13 + 4√3 = (√a + √b)² и найди a и b через систему уравнений.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
а) √(13+4√3) - √(13-4√3)
Попробуем упростить каждый корень отдельно.
Для √(13+4√3) предположим, что это можно записать как √a + √b.
Если √(13+4√3) = √a + √b, то: (√a + √b)² = 13 + 4√3 a + b + 2√(ab) = 13 + 4√3
Отсюда:
- a + b = 13
- 2√(ab) = 4√3
- √(ab) = 2√3
- ab = 12
Найдём a и b: это числа, сумма которых 13, а произведение 12. Решаем: t² - 13t + 12 = 0 t = (13 ± √(169-48))/2 = (13 ± √121)/2 = (13 ± 11)/2
Получаем: t₁ = 12, t₂ = 1
Значит: √(13+4√3) = √12 + √1 = 2√3 + 1
Аналогично для √(13-4√3): (√a - √b)² = 13 - 4√3 a + b - 2√(ab) = 13 - 4√3
Те же a и b: √(13-4√3) = √12 - √1 = 2√3 - 1
Теперь вычислим: √(13+4√3) - √(13-4√3) = (2√3 + 1) - (2√3 - 1) = 2√3 + 1 - 2√3 + 1 = 2
б) √(19-2√34) + √(19+2√34)
Аналогично предположим √(19+2√34) = √a + √b:
(√a + √b)² = 19 + 2√34 a + b + 2√(ab) = 19 + 2√34
Отсюда:
- a + b = 19
- 2√(ab) = 2√34
- √(ab) = √34
- ab = 34
Решаем: t² - 19t + 34 = 0 t = (19 ± √(361-136))/2 = (19 ± √225)/2 = (19 ± 15)/2
Получаем: t₁ = 17, t₂ = 2
Значит: √(19+2√34) = √17 + √2
Для √(19-2√34): √(19-2√34) = √17 - √2
Теперь вычислим: √(19-2√34) + √(19+2√34) = (√17 - √2) + (√17 + √2) = 2√17
Поскольку √17 — иррациональное число, то 2√17 — также иррациональное число