Номер 440 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 440.
Упростите выражение, вычислив предварительно значения а², если:
а) a = $$
\sqrt{11+\sqrt{85}}-\sqrt{11-\sqrt{85}}
$$
б) a = $$
\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}
$$
💡 Подсказка (без ответа)
Возведи обе части выражения в квадрат. Используй формулы (x±y)² = x² ± 2xy + y² и (x+y)(x-y) = x² - y². После раскрытия скобок произведение корней упростится.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
а) a = √(11+√85) - √(11-√85)
Найдём a². Для этого возведём обе части в квадрат:
a² = (√(11+√85) - √(11-√85))²
Раскроем скобки по формуле (x - y)² = x² - 2xy + y²:
a² = (11+√85) - 2·√(11+√85)·√(11-√85) + (11-√85)
a² = 11 + √85 + 11 - √85 - 2·√((11+√85)(11-√85))
a² = 22 - 2·√((11+√85)(11-√85))
Посчитаем произведение под корнем по формуле (x+y)(x-y) = x² - y²:
(11+√85)(11-√85) = 11² - (√85)² = 121 - 85 = 36
Подставим:
a² = 22 - 2·√36 = 22 - 2·6 = 22 - 12 = 10
б) a = √(3+√5) + √(3-√5)
Возведём в квадрат:
a² = (√(3+√5) + √(3-√5))²
Раскроем по формуле (x + y)² = x² + 2xy + y²:
a² = (3+√5) + 2·√(3+√5)·√(3-√5) + (3-√5)
a² = 3 + √5 + 3 - √5 + 2·√((3+√5)(3-√5))
a² = 6 + 2·√((3+√5)(3-√5))
Посчитаем произведение:
(3+√5)(3-√5) = 3² - (√5)² = 9 - 5 = 4
Подставим:
a² = 6 + 2·√4 = 6 + 2·2 = 6 + 4 = 10