Номер 428 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 428.
Между какими последовательными целыми числами заключено значение выражения:
а) $$
\frac{1}{\sqrt{5}-2} ;
$$
б) $$
\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} ;
$$
в) $$
\frac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}} ;
$$
г) $$
\frac{5+3 \sqrt{3}}{\sqrt{3}+2} ?
$$
💡 Подсказка (без ответа)
Избавьтесь от иррациональности в знаменателе каждой дроби, умножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. После упрощения вычислите приблизительное значение, зная, что √2 ≈ 1,414; √3 ≈ 1,732; √5 ≈ 2,236 и т.д.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Нужно упростить каждое выражение, избавляясь от иррациональности в знаменателе (умножить на сопряженное выражение), потом вычислить приблизительное значение.
а) 1/(√5 - 2)
Умножим числитель и знаменатель на (√5 + 2):
(1 · (√5 + 2)) / ((√5 - 2)(√5 + 2)) = (√5 + 2) / (5 - 4) = √5 + 2
Вычислим: √5 ≈ 2,236, поэтому √5 + 2 ≈ 4,236
Это число заключено между 4 и 5.
б) 2/(√5 - √3)
Умножим на (√5 + √3):
(2 · (√5 + √3)) / ((√5 - √3)(√5 + √3)) = (2√5 + 2√3) / (5 - 3) = (2√5 + 2√3) / 2 = √5 + √3
Вычислим: √5 ≈ 2,236 и √3 ≈ 1,732, поэтому √5 + √3 ≈ 3,968
Это число заключено между 3 и 4.
в) 3/(√10 + √7)
Умножим на (√10 - √7):
(3 · (√10 - √7)) / ((√10 + √7)(√10 - √7)) = (3√10 - 3√7) / (10 - 7) = (3√10 - 3√7) / 3 = √10 - √7
Вычислим: √10 ≈ 3,162 и √7 ≈ 2,646, поэтому √10 - √7 ≈ 0,516
Это число заключено между 0 и 1.
г) (5 + 3√3)/(√3 + 2)
Умножим на (√3 - 2):
((5 + 3√3)(√3 - 2)) / ((√3 + 2)(√3 - 2))
Числитель: (5 + 3√3)(√3 - 2) = 5√3 - 10 + 3·3 - 6√3 = 5√3 - 10 + 9 - 6√3 = -√3 - 1
Знаменатель: (√3 + 2)(√3 - 2) = 3 - 4 = -1
Результат: (-√3 - 1) / (-1) = √3 + 1
Вычислим: √3 ≈ 1,732, поэтому √3 + 1 ≈ 2,732
Это число заключено между 2 и 3.