Номер 427 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 427.
Докажите, что значение выражения:
а) $$
\frac{1}{3 \sqrt{3}-4}-\frac{1}{3 \sqrt{3}+4}
$$ есть число рациональное;
б) $$
\frac{1}{5-2 \sqrt{6}}-\frac{1}{5+2 \sqrt{6}}
$$ есть число иррациональное;
💡 Подсказка (без ответа)
В обоих случаях приведи дроби к общему знаменателю. Знаменатель найди по формуле разности квадратов: (a - b)(a + b) = a² - b². После упрощения посмотри, содержит ли результат иррациональный множитель (корень).
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
а) Доказательство рациональности первого выражения
Приведём дроби к общему знаменателю:
1/(3√3 - 4) - 1/(3√3 + 4) = [(3√3 + 4) - (3√3 - 4)] / [(3√3 - 4)(3√3 + 4)]
Вычислим числитель: (3√3 + 4) - (3√3 - 4) = 3√3 + 4 - 3√3 + 4 = 8
Вычислим знаменатель, используя формулу (a - b)(a + b) = a² - b²: (3√3 - 4)(3√3 + 4) = (3√3)² - 4² = 9·3 - 16 = 27 - 16 = 11
Получаем: 8/11
Число 8/11 — это дробь, где числитель и знаменатель целые. Значит, 8/11 — рациональное число. Что и требовалось доказать.
б) Доказательство иррациональности второго выражения
Приведём дроби к общему знаменателю:
1/(5 - 2√6) - 1/(5 + 2√6) = [(5 + 2√6) - (5 - 2√6)] / [(5 - 2√6)(5 + 2√6)]
Вычислим числитель: (5 + 2√6) - (5 - 2√6) = 5 + 2√6 - 5 + 2√6 = 4√6
Вычислим знаменатель, используя формулу (a - b)(a + b) = a² - b²: (5 - 2√6)(5 + 2√6) = 5² - (2√6)² = 25 - 4·6 = 25 - 24 = 1
Получаем: 4√6 / 1 = 4√6
Число 4√6 содержит множитель √6, который иррационален. Произведение рационального числа (4) на иррациональное число (√6) даёт иррациональное число. Значит, 4√6 — иррациональное число. Что и требовалось доказать.