Номер 418 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 418.
Выполните действия:
а) $$
(\sqrt{4+\sqrt{7}}+\sqrt{4-\sqrt{7}})^2
$$
б) $$
(\sqrt{5+2 \sqrt{6}}-\sqrt{5-2 \sqrt{6}})^2
$$
💡 Подсказка (без ответа)
Раскройте скобки по формулам квадрата суммы и квадрата разности. Главное — найти произведение корней с помощью формулы разности квадратов (a+b)(a-b) = a² - b².
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
а) (√(4+√7) + √(4-√7))²
Шаг 1. Используем формулу (a + b)² = a² + 2ab + b²
Обозначим a = √(4+√7) и b = √(4-√7)
Шаг 2. Найдём a²: a² = 4 + √7
Шаг 3. Найдём b²: b² = 4 - √7
Шаг 4. Найдём a² + b²: a² + b² = (4 + √7) + (4 - √7) = 8
Шаг 5. Найдём 2ab: 2ab = 2·√(4+√7)·√(4-√7) = 2·√((4+√7)(4-√7))
Шаг 6. Упростим подкоренное выражение: (4+√7)(4-√7) = 16 - 7 = 9
Шаг 7. Тогда: 2ab = 2·√9 = 2·3 = 6
Шаг 8. Итоговый результат: (√(4+√7) + √(4-√7))² = 8 + 6 = 14
б) (√(5+2√6) - √(5-2√6))²
Шаг 1. Используем формулу (a - b)² = a² - 2ab + b²
Обозначим a = √(5+2√6) и b = √(5-2√6)
Шаг 2. Найдём a²: a² = 5 + 2√6
Шаг 3. Найдём b²: b² = 5 - 2√6
Шаг 4. Найдём a² + b²: a² + b² = (5 + 2√6) + (5 - 2√6) = 10
Шаг 5. Найдём 2ab: 2ab = 2·√(5+2√6)·√(5-2√6) = 2·√((5+2√6)(5-2√6))
Шаг 6. Упростим подкоренное выражение: (5+2√6)(5-2√6) = 25 - 4·6 = 25 - 24 = 1
Шаг 7. Тогда: 2ab = 2·√1 = 2·1 = 2
Шаг 8. Итоговый результат: (√(5+2√6) - √(5-2√6))² = 10 - 2 = 8