Номер 374 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 374.
Укажите натуральные значения n, при которых $$ \sqrt{n^2-75} $$ является натуральным число.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь √(n² - 75) = m, где m — натуральное число. Возведи в квадрат и получи уравнение n² - m² = 75. Разложи левую часть на множители (n - m)(n + m) = 75 и рассмотри все пары делителей числа 75.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Нам нужно найти натуральные значения n, при которых √(n² - 75) — натуральное число.
Обозначим √(n² - 75) = m, где m — натуральное число.
Тогда: n² - 75 = m²
Переносим: n² - m² = 75
Разлагаем на множители: (n - m)(n + m) = 75
Так как n и m — натуральные числа, то n + m > n - m > 0 (так как n² > m², значит n > m).
Найдём все пары делителей числа 75: 75 = 1 × 75 = 3 × 25 = 5 × 15
Для каждой пары делителей (a, b), где a < b и a·b = 75, составим систему:
- n - m = a
- n + m = b
Складываем уравнения: 2n = a + b, откуда n = (a + b)/2 Вычитаем: 2m = b - a, откуда m = (b - a)/2
Для того чтобы n и m были натуральными, нужно чтобы a + b и b - a были чётными (то есть a и b имели одинаковую чётность).
Пара 1: a = 1, b = 75 (обе нечётные — подходит)
- n = (1 + 75)/2 = 76/2 = 38
- m = (75 - 1)/2 = 74/2 = 37
- Проверка: 38² - 75 = 1444 - 75 = 1369 = 37² ✓
Пара 2: a = 3, b = 25 (обе нечётные — подходит)
- n = (3 + 25)/2 = 28/2 = 14
- m = (25 - 3)/2 = 22/2 = 11
- Проверка: 14² - 75 = 196 - 75 = 121 = 11² ✓
Пара 3: a = 5, b = 15 (обе нечётные — подходит)
- n = (5 + 15)/2 = 20/2 = 10
- m = (15 - 5)/2 = 10/2 = 5
- Проверка: 10² - 75 = 100 - 75 = 25 = 5² ✓