Номер 352 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 352.
Докажите, что графики функций y = $$ \sqrt{x} $$ и у = х + 0,5 не имеют общих точек.
💡 Подсказка (без ответа)
Приравняй функции и попробуй возвести обе части уравнения в квадрат. Посмотри, к какому противоречию это приведёт.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Нам нужно доказать, что уравнение √x = x + 0,5 не имеет решений.
Шаг 1. Запишем уравнение, которому должны удовлетворять точки пересечения графиков: √x = x + 0,5
Шаг 2. Область определения функции y = √x: x ≥ 0. Значит, x ≥ 0.
Шаг 3. Проанализируем, когда √x = x + 0,5 может быть верным. Для этого обозначим f(x) = √x и g(x) = x + 0,5.
Шаг 4. Проверим несколько значений:
- При x = 0: √0 = 0, а 0 + 0,5 = 0,5. Имеем 0 ≠ 0,5 ✗
- При x = 1: √1 = 1, а 1 + 0,5 = 1,5. Имеем 1 ≠ 1,5 ✗
- При x = 0,25: √0,25 = 0,5, а 0,25 + 0,5 = 0,75. Имеем 0,5 ≠ 0,75 ✗
Шаг 5. Рассмотрим разность: h(x) = √x - (x + 0,5) = √x - x - 0,5
Найдём производную (или исследуем поведение): При x = 0: h(0) = 0 - 0 - 0,5 = -0,5 < 0
Шаг 6. Заметим, что при больших x линейная функция y = x + 0,5 растёт быстрее, чем y = √x.
При x > 1: x + 0,5 > 1 + 0,5 = 1,5, а √x < x (так как при x > 1 функция √x < x).
Точнее: если x > 0,25, то x + 0,5 > 0,75, а нам нужно, чтобы √x ≥ x + 0,5.
Шаг 7. Проверим: если √x = x + 0,5 и x ≥ 0, то возведём обе части в квадрат (обе части неотрицательны при x ≥ -0,5, что выполнено):
x = (x + 0,5)² = x² + x + 0,25
0 = x² + 0,25
x² = -0,25
Шаг 8. Уравнение x² = -0,25 не имеет решений в области действительных чисел, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.
Вывод: Графики функций y = √x и y = x + 0,5 не имеют общих точек, так как уравнение √x = x + 0,5 равносильно уравнению x² = -0,25, которое не имеет решений.